数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 – 正値スカラー積(正規直交基底、実数、3次元の部分空間(平面)、ベクトル)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題1-(a)、(b).を取り組んでみる。

1. 
   
   1. 
      

      まず、直交基底を求める。

      $\begin{array}{}v=\left(1,1,-1\right)\\ w=\left(1,0,1\right)-\frac{\left(1,0,1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,1,-1\right)}{\left(1,1,-1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,1,-1\right)}\left(1,1,-1\right)\\ =\left(1,0,1\right)\end{array}$

      よって、 正規直交基底は、

      $\begin{array}{}\frac{v}{\left|v\right|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(1,1,-1\right)\\ \frac{w}{\left|w\right|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1,0,1\right)\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{}v=\left(2,1,1\right)\\ w=\left(1,3,-1\right)-\frac{\left(1,3,-1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(2,1,1\right)}{\left(2,1,1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(2,1,1\right)}\left(2,1,1\right)\\ =\left(1,3,-1\right)-\frac{2+3-1}{4+1+1}\left(2,1,1\right)\\ =\left(1,3,-1\right)-\frac{2}{3}\left(2,1,1\right)\\ =\frac{1}{3}\left(-1,7,-5\right)\end{array}$

      よって、 正規直交基底は、

      $\begin{array}{}\frac{v}{\left|v\right|}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(2,1,1\right)\\ \frac{w}{\left|w\right|}=\frac{1}{\sqrt{1+49+25}}\left(-1,7,-5\right)\\ =\frac{1}{\sqrt{75}}\left(-1,7,-5\right)\\ =\frac{1}{5\sqrt{3}}\left(-1,7,-5\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, sqrt

print('1.')
m = [(1 / sqrt(3) * Matrix([[1, 1, -1]]), 1 / sqrt(2) * Matrix([[1, 0, 1]])),
     (1 / sqrt(6) * Matrix([[2, 1, 1]]), 1 / (5 * sqrt(3)) * Matrix([[-1, 7, -5]]))]

for i, (v, w) in enumerate(m):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    for t in [v, w, v.dot(w)]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
(a)
⎡√3  √3  -√3 ⎤
⎢──  ──  ────⎥
⎣3   3    3  ⎦

⎡√2     √2⎤
⎢──  0  ──⎥
⎣2      2 ⎦

0


(b)
⎡√6  √6  √6⎤
⎢──  ──  ──⎥
⎣3   6   6 ⎦

⎡-√3   7⋅√3  -√3 ⎤
⎢────  ────  ────⎥
⎣ 15    15    3  ⎦

0


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