数学 - エピローグ - 落ち穂拾い、など – “すべて”と“存在” - 必要条件と十分条件(ド・モルガンの法則)

数学読本〈6〉

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数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード/εとδ/落ち穂拾い など(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第26章(エピローグ - 落ち穂拾い、など)、26.5(“すべて”と“存在”)、必要条件と十分条件、問11、12.を取り組んでみる。

11. 
    
    $\begin{array}{}\neg \; <!--\; latex:\; \backslash neg\; -->\forall \; <!--\; for\; all\; -->x\exists \; <!--\; there\; exists\; -->y\forall \; <!--\; for\; all\; -->zp\left(x,y,z\right)\\ \iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->\exists \; <!--\; there\; exists\; -->x\left(\neg \; <!--\; latex:\; \backslash neg\; -->\exists \; <!--\; there\; exists\; -->y\forall \; <!--\; for\; all\; -->zp\left(x,y,z\right)\right)\\ \iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->\exists \; <!--\; there\; exists\; -->x\forall \; <!--\; for\; all\; -->y\left(\neg \; <!--\; latex:\; \backslash neg\; -->\forall \; <!--\; for\; all\; -->zp\left(x,y,z\right)\right)\\ \iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->\exists \; <!--\; there\; exists\; -->x\forall \; <!--\; for\; all\; -->y\exists \; <!--\; there\; exists\; -->z\left(\neg \; <!--\; latex:\; \backslash neg\; -->p\left(x,y,z\right)\right)\end{array}$
12. 
    
    $\begin{array}{}\neg \; <!--\; latex:\; \backslash neg\; -->\left(\forall \; <!--\; for\; all\; -->xp\left(x\right)\vee \; <!--\; logical\; or\; -->\exists \; <!--\; there\; exists\; -->yq\left(y\right)\right)\\ \iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->\neg \; <!--\; latex:\; \backslash neg\; -->\forall \; <!--\; for\; all\; -->xp\left(x\right)\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->\neg \; <!--\; latex:\; \backslash neg\; -->\exists \; <!--\; there\; exists\; -->yq\left(y\right)\\ \iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->\exists \; <!--\; there\; exists\; -->x\left(\neg \; <!--\; latex:\; \backslash neg\; -->p\left(x\right)\right)\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->\forall \; <!--\; for\; all\; -->y\left(\neg \; <!--\; latex:\; \backslash neg\; -->q\left(y\right)\right)\end{array}$