2018年6月1日金曜日

学習環境

Kodaiさんのツイートの命題を証明してみた。

1ならば2について。

x を任意の Z の元とする。

また、

f g = f h

とする。

このとき、

f g x = f h x f g x = f h x

f は単射なので、

g x = h x

よって、

g = h

2ならば1について。

a、 b を X の任意の元とする。

また、

f a = f b = c

と仮定する。

関数 g、 h を

x 0 X , Z = X x 0 g : Z X g x = x x X g x 0 = a h : Z X h x = x x X h x 0 = b

と定めると、 g、 h の定義域は Z、値域は X である。
また、 Z の任意の元 z に対して、

z X f g z = z f h z = z z X z = x 0 f g z = f a = c f h z = f b = c

よって、

f g = f h

ゆえに、

g = h

以上より、

g x 0 = h x 0 a = b

が成り立つので、 f は単射である。

(証明終)

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