数学 - 単射、合成写像についての命題( @0918nobita )Kodai@コンパイラ実装をやっていきさんのツイートより

集合・位相入門

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進捗
(証明で行き詰まってます) pic.twitter.com/W0MEE8i5vC

— Kodai@コンパイラ実装をやっていき (@0918nobita) 2018年6月1日

Kodaiさんのツイートの命題を証明してみた。

1ならば2について。

x を任意の Z の元とする。

また、

$f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->g=f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->h$

とする。

このとき、

$\begin{array}{}\left(f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->g\right)\left(x\right)=\left(f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->h\right)\left(x\right)\\ f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(h\left(x\right)\right)\end{array}$

f は単射なので、

$g\left(x\right)=h\left(x\right)$

よって、

$g=h$

2ならば1について。

a、 b を X の任意の元とする。

また、

$f\left(a\right)=f\left(b\right)=c$

と仮定する。

関数 g、 h を

$\begin{array}{}{x}_0\notin \; <!--\; not\; an\; element\; of\; -->X,Z=X\cup \; <!--\; union\; -->\left\{x_0\right\}\\ g:Z\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->X\\ g\left(x\right)=x\left(x\in \; <!--\; element\; of\; -->X\right)\\ g\left(x_0\right)=a\\ h:Z\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->X\\ h\left(x\right)=x\left(x\in \; <!--\; element\; of\; -->X\right)\\ h\left(x_0\right)=b\end{array}$

と定めると、 g、 h の定義域は Z、値域は X である。
また、 Z の任意の元 z に対して、

$\begin{array}{}z\in \; <!--\; element\; of\; -->X\\ \left(f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->g\right)\left(z\right)=z\\ \left(f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->h\right)\left(z\right)=z\\ z\notin \; <!--\; not\; an\; element\; of\; -->X\left(z=x_0\right)\\ \left(f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->g\right)\left(z\right)=f\left(a\right)=c\\ \left(f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->h\right)\left(z\right)=f\left(b\right)=c\end{array}$

よって、

$f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->g=f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->h$

ゆえに、

$g=h$

以上より、

$\begin{array}{}g\left(x_0\right)=h\left(x_0\right)\\ a=b\end{array}$

が成り立つので、 f は単射である。

（証明終）