数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 – 行列の逆転(逆行列、行列式、転置行列)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(線形写像)、9(行列の逆転)、練習問題1-(a)、(b)、(c)、(d)、(e).を取り組んでみる。

1. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{}\det A=\left(6-4\right)-\left(-2+24\right)\\ =2-22\\ =-20\\ A_{11}=3+1=4\\ A_{12}=4\\ A_{13}=-12\\ A_{21}=1-2=-1\\ A_{22}=2-8=-6\\ A_{23}=2-4=-2\\ A_{31}=-1-6=-7\\ A_{32}=-2\\ A_{33}=6\end{array}$

      よって求める逆行列は、

      $A^{-1}=-\frac{1}{20}\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -7\\ -4& -6& 2\\ -12& 2& 6\end{array}\right)$
   2. 
      
      $\begin{array}{}\det A=\left(18+2-20\right)-\left(12+3-20\right)\\ =5\\ A_{11}=6-4=2\\ A_{12}=-3+2=-1\\ A_{13}=-4+4=0\\ A_{21}=-3-20=-23\\ A_{22}=9+10=19\\ A_{23}=12-2=10\\ A_{31}=-1-10=-11\\ A_{32}=3+5=8\\ A_{33}=6-1=5\end{array}$

      よって 求める逆行列は、

      $A^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc}2& 23& -11\\ 1& 19& -8\\ 0& -10& 5\end{array}\right)$
   3. 
      
      $\begin{array}{}\det A=\left(6-6\right)-\left(-4\right)=4\\ A_{11}=3\\ A_{12}=-1\\ A_{13}=-2\\ A_{21}=4-6=-2\\ A_{22}=2\\ A_{23}=4\\ A_{31}=-9\\ A_{32}=3\\ A_{33}=6+4=10\end{array}$

      よって、求める逆行列は、

      $A^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}3& 2& -9\\ 1& 2& -3\\ -2& -4& 10\end{array}\right)$
   4. 
      
      $\begin{array}{}\det A=7-2=5\\ A_{11}=7-2=5\\ A_{12}=0\\ A_{13}=0\\ A_{21}=14+2=16\\ A_{22}=7\\ A_{23}=2\\ A_{31}=2+1=3\\ A_{32}=1\\ A_{33}=1\end{array}$

      よって、

      $A^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc}5& -16& 3\\ 0& 7& -1\\ 0& -2& 1\end{array}\right)$
   5. 
      
      $\begin{array}{}\det A=84-160=-76\\ A_{11}=0\\ A_{12}=32\\ A_{13}=28\\ A_{21}=40-21=19\\ A_{22}=-8-6=-14\\ A_{23}=-7-10=-17\\ A_{31}=0\\ A_{32}=-12\\ A_{33}=-20\end{array}$

      よって、

      $A^{-1}=\frac{1}{-76}\left(\begin{array}{ccc}0& -19& 0\\ -32& -14& 12\\ 28& 17& -20\end{array}\right)$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('1.')
ts = [[[2, 1, 2],
       [0, 3, -1],
       [4, 1, 1]],
      [[3, -1, 5],
       [-1, 2, 1],
       [-2, 4, 3]],
      [[2, 4, 3],
       [-1, 3, 0],
       [0, 2, 1]],
      [[1, 2, -1],
       [0, 1, 1],
       [0, 2, 7]],
      [[-1, 5, 3],
       [4, 0, 0],
       [2, 7, 8]]]

for i, t in enumerate(ts):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    A = Matrix(t)
    for M in [A, A**-1]:
        pprint(M)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
(a)
⎡2  1  2 ⎤
⎢        ⎥
⎢0  3  -1⎥
⎢        ⎥
⎣4  1  1 ⎦

⎡-1/5  -1/20  7/20 ⎤
⎢                  ⎥
⎢1/5   3/10   -1/10⎥
⎢                  ⎥
⎣3/5   -1/10  -3/10⎦


(b)
⎡3   -1  5⎤
⎢         ⎥
⎢-1  2   1⎥
⎢         ⎥
⎣-2  4   3⎦

⎡2/5  23/5  -11/5⎤
⎢                ⎥
⎢1/5  19/5  -8/5 ⎥
⎢                ⎥
⎣ 0    -2     1  ⎦


(c)
⎡2   4  3⎤
⎢        ⎥
⎢-1  3  0⎥
⎢        ⎥
⎣0   2  1⎦

⎡3/4   1/2  -9/4⎤
⎢               ⎥
⎢1/4   1/2  -3/4⎥
⎢               ⎥
⎣-1/2  -1   5/2 ⎦


(d)
⎡1  2  -1⎤
⎢        ⎥
⎢0  1  1 ⎥
⎢        ⎥
⎣0  2  7 ⎦

⎡1  -16/5  3/5 ⎤
⎢              ⎥
⎢0   7/5   -1/5⎥
⎢              ⎥
⎣0  -2/5   1/5 ⎦


(e)
⎡-1  5  3⎤
⎢        ⎥
⎢4   0  0⎥
⎢        ⎥
⎣2   7  8⎦

⎡  0    1/4     0  ⎤
⎢                  ⎥
⎢8/19   7/38  -3/19⎥
⎢                  ⎥
⎢       -17        ⎥
⎢-7/19  ────  5/19 ⎥
⎣        76        ⎦


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