数学 - Python - JavaScript - 解析学の基礎へのアプローチ - εとδ – 数列の極限 - 応用例(単調有界数列、収束、漸化式、平方根、帰納法)

数学読本〈6〉

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード/εとδ/落ち穂拾い など(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第25章(解析学の基礎へのアプローチ - εとδ)、25.1(数列の極限)、応用例、問3.を取り組んでみる。

3. 
   
   $\begin{array}{}{a}_2^2-a_1^2\\ =a_1+s-s^2\\ =s+s-s^2\\ =s\left(2-s\right)\end{array}$

   となる。

   $0<s\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->2$

   の場合。

   $\begin{array}{}{a}_2^2-a_1^2\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0\\ a_2^2\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->a_1^2\\ a_1\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->a_2\end{array}$

   また、

   $a_n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->a_{n+1}$

   と仮定すると、

   $a_{n+1}=\sqrt{a_n+s}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\sqrt{a_{n+1}+s}=a_{n+2}$

   よって、 帰納法により、数列は単調増加である。

   また、

   $a_n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->2$

   と仮定すると、

   $a_{n+1}=\sqrt{a_n+s}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\sqrt{2+2}=2$

   よって帰納法により、問題の数列は上に有界である。

   ゆえに、数列は収束する。

   $s\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->2$

   の場合。

   $a_1\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->a_2$
   $a_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->a_{n+1}$

   と仮定すると

   $a_{n+1}=\sqrt{a_n+s}\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\sqrt{a_{n+1}+s}=a_{n+2}$

   よって、 単調減少である。

   また、

   $a_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->2$

   と仮定すると、

   $a_{n+1}=\sqrt{a_n+s}\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\sqrt{2+2}=2$

   よって帰納法より、 問題の数列は下に有界である。

   ゆえに、収束する。

   極限値を a とすると、

   $n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}$

   のとき、

   $\begin{array}{}a\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0\\ a=\sqrt{a+s}\\ a^2=a+s\\ a^2-a-s=0\\ a=\frac{1+\sqrt{1+4s}}{4}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, sqrt

a = symbols('a')
s = symbols('s', positive=True)
eq = a - sqrt(a + s)

for t in solve(eq, a):
    pprint(t.factor())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
 ⎛  _________    ⎞ 
-⎝╲╱ 4⋅s + 1  - 1⎠ 
───────────────────
         2         

  _________    
╲╱ 4⋅s + 1  + 1
───────────────
       2       

$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="1">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.001" value="1">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="0">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="100">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-50">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="50">
<br>
<label for="s0">s = </label>
<input id="s0" type="number" min="1" value="10">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample3.js"></script>

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    input_s0 = document.querySelector('#s0'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
              input_s0],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value),
        s0 = parseInt(input_s0.value, 10);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        lines = [],
        memo = {1:s0},
        f = (x) => {
            if (x < 1) {
                return;
            }
            if (memo[x] !== undefined) {
                return memo[x];
            }
            if (Number.isInteger(x)) {
                memo[x] = Math.sqrt(f(x - 1) + s0);
                return memo[x];
            }
        },
        fns = [[f, 'green']],
        fns1 = [],
        fns2 = [];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                points.push([x, y, color]);
            }
        });
    
    fns1
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            
            lines.push([x1, f(x1), x2, f(x2), color]);
        });
    
    fns2
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
                let g = f(x);
                lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');
    
    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =
s =