数学 - Python - JavaScript - 解析学の基礎へのアプローチ - εとδ – 数列の極限 - 応用例(2つの単調有界数列、収束、漸化式、帰納法、相加平均、相乗平均)

数学読本〈6〉

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード/εとδ/落ち穂拾い など(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第25章(解析学の基礎へのアプローチ - εとδ)、25.1(数列の極限)、応用例、問4-(1)、(2).を取り組んでみる。

4. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{}{a}_1-a_2\\ =a-\frac{a+b}{2}\\ =\frac{a-b}{2}\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0\end{array}$

      また、

      $\begin{array}{}{b}_2^2-b_1^2\\ =a_1{b}_1-b_1^2\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0\end{array}$

      よって、

      $\begin{array}{}{a}_1\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->a_2\\ b_1\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->b_2\end{array}$

      また、

      $\begin{array}{}{a}_1=a\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->b=b_1\\ a_2=\frac{a_1+b_1}{2}\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\sqrt{a_1{b}_1}=b_2\end{array}$

      が成り立つ。

      また、

      $\begin{array}{}{a}_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->a_{n+1}\\ b_n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->b_{n+1}\\ a_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->b_n\\ a_{n+1}\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->b_{n+1}\end{array}$

      が成り立つと仮定すると、

      $\begin{array}{}{a}_{n+2}\\ =\frac{a_{n+1}+b_{n+1}}{2}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{a_{n+1}+a_{n+1}}{2}\\ =a_{n+1}\\ b_{n+2}\\ =\sqrt{a_{n+1}{b}_{n+1}}\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\sqrt{b_{n+1}{b}_{n+1}}\\ =b_{n+1}\\ a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+b_{n+1}}{2}\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\sqrt{a_{n+1}{b}_{n+1}}=b_{n+2}\end{array}$

      よって、帰納法により、

      $a_1\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->a_2\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->a_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->b_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->b_2\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->b_1$

      が成り立つ。

      （証明終）

   2. 
      

      2つの数列は共に、下 、 上 に有界な単調減少、単調増加な数列なので収束し、 極限値をもつ。

      その値をそれぞれ

      $\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->},\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}$

      とすると、

      $n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}$

      のとき、

      $\begin{array}{}\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}{2}\\ \mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}=\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\\ \mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\end{array}$

      が成り立つので、 2つの数列は同じ極限値に収束する。

      （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, sqrt

a, b = symbols('a, b', positive=True)

eqs = [a - (a + b) / 2,
       b - sqrt(a * b)]

pprint(solve(eqs))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
[{a: b}]
$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="1">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.001" value="1">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="0">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="10">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="0">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="10">
<br>
<label for="a0">a = </label>
<input id="a0" type="number" min="0" value="1">
<label for="b0">b = </label>
<input id="b0" type="number" min="0" value="2">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample4.js"></script>

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    input_a0 = document.querySelector('#a0'),
    input_b0 = document.querySelector('#b0'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
              input_a0, input_b0],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value),
        a0 = parseFloat(input_a0.value),
        b0 = parseFloat(input_b0.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        lines = [],
        memof = {1:a0},
        f = (x) => {
            if (x < 1) {
                return;
            }
            if (memof[x] !== undefined) {
                return memof[x];
            }
            if (Number.isInteger(x)) {
                memof[x] = (f(x - 1) + g(x - 1)) / 2;
                return memof[x];
            }
        },
        memog = {1:b0},
        g = (x) => {
            if (x < 1) {
                return;
            }
            if (memog[x] !== undefined) {
                return memog[x];
            }
            if (Number.isInteger(x)) {
                memog[x] = Math.sqrt(f(x - 1) + g(x - 1));
                return memog[x];
            }
        },
        fns = [[f, 'red'],
               [g, 'green']],
        fns1 = [],
        fns2 = [];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                points.push([x, y, color]);
            }
        });
    
    fns1
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            
            lines.push([x1, f(x1), x2, f(x2), color]);
        });
    
    fns2
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
                let g = f(x);
                lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');
    
    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =
a = b =