数学 - 線形代数学 - 線形写像 – 一意性(n次元列ベクトル、1次独立、実数、複素数)

ラング線形代数学(上)
原著

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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(線形写像)、6(一意性)、練習問題2.を取り組んでみる。

2. 
   
   $\begin{array}{}\left(a_1+b_{1}i\right)A^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left(a_n+b_{n}i\right)A^n\\ =\left(a_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n{A}^n\right)+i\left(b_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+b_n{A}^n\right)\\ =O\end{array}$

   このとき、問題の仮定より、

   $a_1=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=a_n=b_1=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=b_n=0$

   よって、

   $a_1+b_{1}i=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=a_n+b_{n}i=0$

   ゆえに、複素数の上でも1次独立である。

   逆の証明。

   $\begin{array}{}{a}_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n{A}^1=O\\ \left(a_1+0i\right)A^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left(a_n+0i\right)A^n=O\end{array}$

   このとき、

   $\begin{array}{}{a}_1+0i=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=a_n+0i=0\\ a_1=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=a_n=0\end{array}$

   よって、複素数の上で1次独立ならば。実数の上でも1次独立である。

   （証明終）