数学 - 解析学 - 線形写像 - 線形写像と行列(同形写像の逆写像)

解析入門〈3〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第15章(線形写像)、15.1(線形写像と行列)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   

   全単射の逆写像は全単射である。

   また、 W の任意の元 a、 b に対して、 V のある元 c. d が存在して、

   $\begin{array}{}L\left(c\right)=a\\ L^{-1}\left(a\right)=c\\ L\left(d\right)=b\\ L^{-1}\left(b\right)=d\\ L\left(c+d\right)=L\left(c\right)+L\left(d\right)=a+b\end{array}$

   が成り立つ。
   よって、

   $L^{-1}\left(a+b\right)=c+d=L^{-1}\left(a\right)+L^{-1}\left(b\right)$

   また、

   $\begin{array}{}k\in \; <!--\; element\; of\; -->K\\ L\left(kc\right)=kL\left(c\right)=ka\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{}{L}^{-1}\left(ka\right)\\ =kc\\ =k{L}^{-1}\left(a\right)\end{array}$

   ゆえに、同形写像の逆写像は同形写像である。

   （証明終）