数学 - Python - 数学の中の女王 - 数論へのプレリュード – 合同式 - オイラーの関数φ(n)の一般公式(素因数分解)

数学読本〈6〉

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  • Pythonからはじめる数学入門
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数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード/εとδ/落ち穂拾い など(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第23章(数学の中の女王 - 数論へのプレリュード)、23.2(合同式)、オイラーの関数φ(n)の一般公式、問13.を取り組んでみる。

13. 
    
    $\begin{array}{}81=3^4\\ \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\left(81\right)=81\left(1-\frac{1}{3}\right)\\ =27·\; <!--\; middle\; dot\; -->2\\ =54\end{array}$
    $\begin{array}{}100=2^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->5^2\\ \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\left(100\right)=100\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\\ =100·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{4}{5}\\ =40\end{array}$
    $\begin{array}{}250=2·\; <!--\; middle\; dot\; -->5^3\\ \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\left(250\right)=2·\; <!--\; middle\; dot\; -->5^3\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\\ =5^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->1·\; <!--\; middle\; dot\; -->4\\ =100\end{array}$
    $\begin{array}{}420=2^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->105\\ =2^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->3·\; <!--\; middle\; dot\; -->35\\ =2^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->3·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->7\\ 4\left(420\right)=2^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->3·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->7\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{7}\right)\\ =2·\; <!--\; middle\; dot\; -->1·\; <!--\; middle\; dot\; -->2·\; <!--\; middle\; dot\; -->4·\; <!--\; middle\; dot\; -->6\\ =96\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3

from sympy.ntheory.factor_ import totient

nums = [81, 100, 250, 420]

for n in nums:
    print(f'φ({n}) = {totient(n)}')

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample13.py
φ(81) = 54
φ(100) = 40
φ(250) = 100
φ(420) = 96
$