数学 - Python - JavaScript - 無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード – 可算集合 - 可算集合の性質(2)(全単射)

数学読本〈6〉

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード/εとδ/落ち穂拾い など(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード)、24.2(可算集合)、可算集合の性質(2)、問2.を取り組んでみる。

2. 
   

   任意の正の整数は、

   $2^{m-1}\left(2n-1\right)\left(m,n\in \; <!--\; element\; of\; -->{\text{ℤ <!-- double-struck capital Z -->}}^{+}\right)$

   という形に表される。

   よって全射である。

   また、

   $m-1,2n-1$

   すなわち、

   $m,n$

   は一意的に定まる。

   ゆえに単射である。

   以上より、問題の写像 h は全単射である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3


def h(m, n):
    return 2 ** (m - 1) * (2 * n - 1)

nums = {}
for m in range(1, 5):
    for n in range(1, 5):
        nums[h(m, n)] = f'h({m}, {n})'

for k in sorted(nums.keys()):
    print(f'{nums[k]} = {k}')

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
h(1, 1) = 1
h(2, 1) = 2
h(1, 2) = 3
h(3, 1) = 4
h(1, 3) = 5
h(2, 2) = 6
h(1, 4) = 7
h(4, 1) = 8
h(2, 3) = 10
h(3, 2) = 12
h(2, 4) = 14
h(3, 3) = 20
h(4, 2) = 24
h(3, 4) = 28
h(4, 3) = 40
h(4, 4) = 56
$

HTML5

<pre id="output0"></pre>
<label for="m0">m = </label>
<input id="m0" type="number" min="1" step="1" value="1">
<label for="n0">n = </label>
<input id="n0" type="number" min="1" step="1" value="1">

<button id="run0">run</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script src="sample2.js"></script>

JavaScript

let pre0 = document.querySelector('#output0'),
    btn0 = document.querySelector('#run0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_m = document.querySelector('#m0'),
    input_n = document.querySelector('#n0'),
    inputs = [input_m, input_n],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let h = (m, n) => 2 ** (m - 1) * (2 * n - 1);

let output = () => {
    let m = parseInt(input_m.value, 10),
        n = parseInt(input_n.value, 10);

    p(`h(${m}, ${n}) = ${h(m, n)}`);
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = output);
btn0.onclick = output;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
output();

m = n =