数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 – 行列式の存在(バンデルモンドの行列式(3次、一般化、帰納法))

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(線形写像)、4(行列式の存在)、練習問題5-(a)、(b).を取り組んでみる。

5. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}1& x_1& x_1^2\\ 1& x_2& x_2^2\\ 1& x_3& x_3^2\end{array}\right)\\ =\det \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& x_2-x_1& x_2^2-x_1{x}_2\\ 1& x_3-x_1& x_3^2-x_1{x}_3\end{array}\right)\\ =\det \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& x_2-x_1& x_2\left(x_2-x_1\right)\\ 0& x_3-x_1& x_3\left(x_3-x_1\right)\end{array}\right)\\ =\left(x_2-x_1\right)\left(x_3-x_1\right)\det \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& x_2\\ 0& 1& x_3\end{array}\right)\\ =\left(x_2-x_1\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{}{V}_n\\ =\det \left(\begin{array}{cccc}1& 0& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& 0\\ 0& \left(x_2-x_1\right)& & x{2}^{\left(n-2\right)}\left(x_2-x_1\right)\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& & & \\ 0& \left(x_n-x_1\right)& & x_n^{\left(n-2\right)}\left(x_n-x_1\right)\end{array}\right)\\ =\left(x_n-x_1\right)\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\left(x_2-x_1\right)V_{n-1}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

x1, x2, x3 = symbols('x1, x2, x3')
M = Matrix([[1, x1, x1 ** 2],
            [1, x2, x2 ** 2],
            [1, x3, x3 ** 2]])
V = M.det()

for t in [M, V, V.factor()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
⎡         2⎤
⎢1  x₁  x₁ ⎥
⎢          ⎥
⎢         2⎥
⎢1  x₂  x₂ ⎥
⎢          ⎥
⎢         2⎥
⎣1  x₃  x₃ ⎦

    2        2           2        2     2           2
- x₁ ⋅x₂ + x₁ ⋅x₃ + x₁⋅x₂  - x₁⋅x₃  - x₂ ⋅x₃ + x₂⋅x₃ 

-(x₁ - x₂)⋅(x₁ - x₃)⋅(x₂ - x₃)

$