数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 – クラーメルの公式(連立1次方程式の解)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(線形写像)、3(クラーメルの公式)、練習問題1-(a)、(b).を取り組んでみる。

1. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}3& 1& -1\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right)\\ =\det \left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right)\\ =3\left(-2\right)\\ =-6\end{array}$
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)\\ =1+1\\ =2\end{array}$
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}3& 0& -1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right)\\ =-\left(3+1\right)\\ =-4\end{array}$
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\\ =3-1\\ =2\end{array}$

      よって、

      $\begin{array}{}x=\frac{2}{-6}=-\frac{1}{3}\\ y=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3}\\ z=\frac{2}{-6}=-\frac{1}{3}\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 1& 3& -2\\ 4& -3& 1\end{array}\right)\\ =\det \left(\begin{array}{ccc}0& -7& 5\\ 1& 3& -2\\ 0& -15& 9\end{array}\right)\\ =-\left(-63+75\right)\\ =-12\end{array}$
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 0& 3& -2\\ 2& -3& 1\end{array}\right)\\ =2\left(2-3\right)\\ =-2\end{array}$
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 1& 0& -2\\ 4& 2& 1\end{array}\right)\\ =-2\left(-4-1\right)\\ =10\end{array}$
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 3& 0\\ 4& -3& 2\end{array}\right)\\ ={\left(6+1\right)}^2\\ =14\end{array}$

      よって、

      $\begin{array}{}x=\frac{-2}{-12}=\frac{1}{6}\\ y=\frac{10}{-12}=-\frac{5}{6}\\ z=\frac{14}{-12}=-\frac{7}{6}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve

x, y, z = symbols('x, y, z')
eqs = [
    (
        3 * x + y - z,
        x + y + z,
        y - z - 1
    ),
    (
        2 * x - y + z,
        x + 3 * y - 2 * z,
        4 * x - 3 * y + z - 2
    )
]
for eq in eqs:
    pprint(solve(eq, dict=True))
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
[{x: -1/3, y: 2/3, z: -1/3}]

[{x: 1/6, y: -5/6, z: -7/6}]

$