数学 - 解析学 - 多変数の関数 - 極値問題(三角形の面積、周の長さ、一定、最大値、ヘロンの公式)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.3(極値問題)、問題5.を取り組んでみる。

5. 
   

   面積を S、周の長さを2 s とすると、ヘロンの公式より、

   $\begin{array}{}2s=x+y+z\\ z=2s-x-y\\ f\left(x,y\right)=S^2=s\left(s-x\right)\left(s-y\right)\left(s-2s+x+y\right)\\ =s\left(s-x\right)\left(s-y\right)\left(x+y-s\right)\end{array}$
   $\begin{array}{}{D}_{1}f\left(x,y\right)=-s\left(s-y\right)\left(x+y-s\right)+s\left(s-x\right)\left(s-y\right)\\ =s\left(s-y\right)\left(-x-y+s+s-x\right)\\ =s\left(s-y\right)\left(2s-2x-y\right)\\ D_{2}f\left(x,y\right)=s\left(s-x\right)\left(2s-2y-x\right)\end{array}$

   第2次導関数の計算。

   $\begin{array}{}{D}_1^{2}f\left(x,y\right)=-2s\left(s-y\right)\\ D_2^{2}f\left(x,y\right)=-2s\left(s-x\right)\\ D_1{D}_{2}f\left(x,y\right)=-s\left(2s-2x-y\right)-s\left(s-y\right)\\ =-s\left(2s-2x-y+s-y\right)\\ =-s\left(3s-2x-2y\right)\\ =s\left(2x+2y-3s\right)\end{array}$
   $\begin{array}{}{D}_{1}f\left(a,b\right)=0\\ D_{2}f\left(a,b\right)=0\\ 2s-2a-b=0\\ 2s-2b-a=0\\ -a-b=0\\ a=b\\ 2s=2a+a\\ =3a\\ 3a=a+a+z\\ z=a\\ s=\frac{3a}{2}\end{array}$
   $\begin{array}{}\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}\left(a,\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)={\left(\frac{3}{2}a\left(2a+2a-\frac{9}{2}a\right)\right)}^2-{\left(3a\left(\frac{3}{2}a-a\right)\right)}^2\\ ={\left(\frac{3}{2}a\left(-\frac{1}{2}a\right)\right)}^2-{\left(3a\left(-\frac{a}{2}\right)\right)}^2\\ ={\left(\frac{3}{4}{a}^2\right)}^2-{\left(\frac{3}{2}{a}^2\right)}^2\\ <0\end{array}$
   $\begin{array}{}{D}_1^{2}f\left(a,a\right)=-3a\left(\frac{3}{2}a-a\right)\\ =-3a·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{a}{2}\\ <0\end{array}$

   よって、

   $\left(a,a\right)$

   は狭義の極大点である。

   ゆえに、正三角形のときに面積は最大となる。

   （証明終）

macOS High Sierraの標準搭載されているグラフ作成ソフト、Grapher で作成。