2018年4月3日火曜日

学習環境

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.3(極値問題)、問題5.を取り組んでみる。


  1. 面積を S、周の長さを2 s とすると、ヘロンの公式より、

    2 s = x + y + z z = 2 s - x - y f x , y = S 2 = s s - x s - y s - 2 s + x + y = s s - x s - y x + y - s
    D 1 f x , y = - s s - y x + y - s + s s - x s - y = s s - y - x - y + s + s - x = s s - y 2 s - 2 x - y D 2 f x , y = s s - x 2 s - 2 y - x

    第2次導関数の計算。

    D 1 2 f x , y = - 2 s s - y D 2 2 f x , y = - 2 s s - x D 1 D 2 f x , y = - s 2 s - 2 x - y - s s - y = - s 2 s - 2 x - y + s - y = - s 3 s - 2 x - 2 y = s 2 x + 2 y - 3 s
    D 1 f a , b = 0 D 2 f a , b = 0 2 s - 2 a - b = 0 2 s - 2 b - a = 0 - a - b = 0 a = b 2 s = 2 a + a = 3 a 3 a = a + a + z z = a s = 3 a 2
    Δ a , α = 3 2 a 2 a + 2 a - 9 2 a 2 - 3 a 3 2 a - a 2 = 3 2 a - 1 2 a 2 - 3 a - a 2 2 = 3 4 a 2 2 - 3 2 a 2 2 < 0
    D 1 2 f a , a = - 3 a 3 2 a - a = - 3 a · a 2 < 0

    よって、

    a , a

    は狭義の極大点である。

    ゆえに、正三角形のときに面積は最大となる。

    (証明終)

macOS High Sierraの標準搭載されているグラフ作成ソフト、Grapher で作成。

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