数学 - 無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード – 可算集合 - べき集合の濃度(対等な集合のべき集合)

数学読本〈6〉

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数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード/εとδ/落ち穂拾い など(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード)、24.2(可算集合)、べき集合の濃度、問4.を取り組んでみる。

4. 
   
   $f:X\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->X\text{'}$

   を全単射とする。

   べき集合からべき集合への写像を、

   $\begin{array}{}g:P\left(X\right)\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->P\left(X\text{'}\right)\\ g\left(A\right)=f\left(A\right)\end{array}$

   と定める。

   A、B を X の任意の部分集合とする。

   $f\left(A\right)=f\left(B\right)$

   が成り立つ場合を考える。 a を A の任意の元とする。

   $f\left(a\right)\in \; <!--\; element\; of\; -->f\left(A\right)=f\left(B\right)$

   よって、ある B の元 b が存在して、

   $f\left(a\right)=f\left(b\right)$

   が成り立つ。

   f は単射なので、

   $a=b\in \; <!--\; element\; of\; -->B$

   よって、 a は B の元である。

   同様に、 B の任意の元 b は A の元である。

   よって、

   $\begin{array}{}A\subset \; <!--\; subset\; of\; -->B\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->B\subset \; <!--\; subset\; of\; -->A\\ A=B\end{array}$

   ゆえに、 g は単射である。

   C を

   $\begin{array}{}C\in \; <!--\; element\; of\; -->P\left(X\text{'}\right)\\ C\subset \; <!--\; subset\; of\; -->X\text{'}\end{array}$

   とする。

   f は全射なので、 C の任意の元 c に対して、

   $f\left(a\right)=c$

   となる X の元 a が存在する。

   ゆえに、

   $A=\left\{a\in \; <!--\; element\; of\; -->X|f\left(a\right)\in \; <!--\; element\; of\; -->C\right\}$

   とおけば、

   $g\left(A\right)=C$

   となる。

   ゆえに、 g は全射である。

   よって、 g は全単射、すなわち

   $X\sim \; <!--\; tilde\; operator\; -->X\text{'}\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->P\left(X\right)\sim \; <!--\; tilde\; operator\; -->P\left(X\text{'}\right)$

   が成り立つ。

   （証明終）