数学 - 解析学 - 多変数の関数 - 極値問題(長さ、最小、内積(ドット積))

解析入門〈3〉

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.3(極値問題)、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   
   $\begin{array}{}\underset{i=1}{\overset{r}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{\left|x-a_i\right|}^2\\ =\underset{i=1}{\overset{r}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{\left(\sqrt{\left(x-a_i\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(x-a_i\right)}\right)}^2\\ =\underset{i=1}{\overset{r}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left({\left|x\right|}^2-2a_i·\; <!--\; middle\; dot\; -->x+{\left|a_i\right|}^2\right)\\ =r{\left|x\right|}^2-2\left(\underset{i=1}{\overset{r}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_i\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->x+\underset{i=1}{\overset{r}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{\left|a_i\right|}^2\\ =r{\left|x-\frac{\underset{i=1}{\overset{r}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_i}{r}\right|}^2-\frac{1}{r}{\left|\underset{i=1}{\overset{r}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_i\right|}^2+\underset{i=1}{\overset{r}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{\left|a_i\right|}^2\end{array}$

   よって、 求める最小にする x は

   $x=\frac{1}{r}\underset{i=1}{\overset{r}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_i$