数学 - Python - JavaScript - 解析学 - 多変数の関数 - 極値問題(指数関数、累乗(べき乗)、臨界点、極値点の存在の判定、広義、狭義、第2次導関数)

解析入門〈3〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.3(極値問題)、問題1-(d).を取り組んでみる。

1. 
   
   4. 
      
      $\begin{array}{}{D}_{1}f\left(x,y\right)\\ =e^{\left(-x^2-y^2\right)}\left(-2x\right)\left(a{x}^2+b{y}^2\right)+e^{\left(-x^2-y^2\right)}2ax\\ =2x{e}^{\left(-x^2-y^2\right)}\left(-a{x}^2-b{y}^2+a\right)\\ D_{2}f\left(x,y\right)\\ =2y{e}^{\left(-x^2-y^2\right)}\left(-a{x}^2-b{y}^2+b\right)\end{array}$
      $\begin{array}{}{D}_{1}f\left(x,y\right)=0\\ D_{2}f\left(x,y\right)=0\end{array}$
      $x=0$

      の場合。

      $\begin{array}{}2y{e}^{\left(-y^2\right)}\left(-b{y}^2+b\right)=0\\ y=0\\ y\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\\ -b{y}^2+b=0\\ y=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1\end{array}$
      $x\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

      の場合。

      $\begin{array}{}-a{x}^2-b{y}^2+a=0\\ y^2=\frac{a}{b}\left(1-x^2\right)\\ \left|x\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1\end{array}$
      $y=0$

      の場合。

      $x=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1$
      $y\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

      の場合。

      $\begin{array}{}-a{x}^2-b{y}^2+b=0\\ -a{x}^2-a\left(1-x^2\right)+b=0\\ -a{x}^2-a+a{x}^2+b=0\\ a=b\\ y^2=1-x^2\\ x^2+y^2=1\end{array}$

      よって、臨界点は、

      $\begin{array}{}\left(0,0\right)\\ \left(0,\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1\right)\\ \left(\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1,0\right)\end{array}$
      $\begin{array}{}a=b\\ x^2+y^2=1\end{array}$

      （原点を中心とするも径1の円の円周上の点）

      第2次偏導関数の計算。

      $\begin{array}{}{D}_1^{2}f\left(x,y\right)\\ =2e^{\left(-x^2-y^2\right)}\left(-a{x}^2-b{y}^2+a\right)+2x{e}^{\left(-x^2-y^2\right)}\left(-2x\right)\left(-a{x}^2-b{y}^2+a\right)\\ +2x{e}^{\left(-x^2-y^2\right)}\left(-2ax\right)\\ =2e^{\left(-x^2-y^2\right)}\left(-a{x}^2-b{y}^2+a+2a{x}^4+2b{x}^{2}y-2a{x}^2-2a{x}^2\right)\\ =2e^{\left(-x^2-y^2\right)}\left(2a{x}^4+2b{x}^{2}y-5a{x}^2-b{y}^2+a\right)\\ D_2^{2}f\left(x,y\right)=2e^{\left(-x^2-y^2\right)}\left(2b{y}^4+2ax{y}^2-5b{y}^2-a{x}^2+b\right)\end{array}$
      $\begin{array}{}{D}_1{D}_{2}f\left(x,y\right)\\ =2x{e}^{\left(-x^2-y^2\right)}\left(-2y\right)\left(-a{x}^2-b{y}^2+a\right)+2x{e}^{\left(-x^2-y^2\right)}\left(-2by\right)\\ =4xy{e}^{\left(-x^2-y^2\right)}\left(a{x}^2+b{y}^2-a-b\right)\end{array}$
      $\begin{array}{}\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}\left(0,0\right)={\left(D_1{D}_{2}f\left(0,0\right)\right)}^2-D_1^{2}f\left(0,0\right)D_2^{2}f\left(0,0\right)\\ =0-\left(2a\right)\left(2b\right)\\ =-4ab\\ <0\\ D_1^{2}f\left(0,0\right)=2a>0\end{array}$

      よって、

      $\left(0,0\right)$

      は狭義の極小点である。

      $\begin{array}{}\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}\left(0,\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1\right)=0-2e^{-1}\left(-b+a\right)e^{-1}\left(2b-5b+b\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->2\\ =-4e^{-2}\left(a-b\right)\left(-2b\right)\\ =8e^{-2}b\left(a-b\right)\end{array}$
      $a>b$

      の場合。

      $\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}\left(0,\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1\right)>0$

      よって極値点ではない。

      $a<b$

      の場合。

      $\begin{array}{}\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}\left(0,\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1\right)<0\\ 2e^{-1}\left(-b+a\right)<0\end{array}$

      よって狭義の極大点である。

      $\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}\left(\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1,0\right)=8e^{-2}a\left(b-a\right)$
      $a<b$

      の場合。

      $\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}\left(\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1,0\right)>0$

      よって極値点ではない。

      $a>b$

      の場合。

      $\begin{array}{}\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}\left(\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1,0\right)<0\\ 2e^{-1}\left(2a-5a+a\right)=2e^{-1}\left(-2a\right)<0\end{array}$

      よって、狭義の極大点である。

      円周上の点について。

      $f\left(x,y\right)=a\frac{x^2+y^2}{e^{\left(x^2+y^2\right)}}$

      累乗関数と指数関数の関係より、 円周上の点は広義の極大点である。

macOS High Sierraの標準搭載されているグラフ作成ソフト、Grapher で作成。

a < b

a > b

a = b

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, exp, solve

x, y, a, b = symbols('x, y, a, b')
f = exp(-x ** 2 - y ** 2) * (a * x ** 2 + b * y ** 2)

for t in [x, y]:
    for n in range(1, 3):
        D = Derivative(f, t, n)
        for s in [D, D.doit()]:
            pprint(s)
            print()
Dxy = Derivative(Derivative(f, x, 1).doit(), y, 1).doit()
pprint(Dxy)

delta = Dxy - Derivative(f, x, 2).doit() * Derivative(f, y, 2).doit()

critical_point = solve(
    (Derivative(f, x, 1).doit(), Derivative(f, y, 1).doit()), dict=True)

for t in [delta, critical_point]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
  ⎛                  2    2⎞
∂ ⎜⎛   2      2⎞  - x  - y ⎟
──⎝⎝a⋅x  + b⋅y ⎠⋅ℯ         ⎠
∂x                          

          2    2                         2    2
       - x  - y        ⎛   2      2⎞  - x  - y 
2⋅a⋅x⋅ℯ          - 2⋅x⋅⎝a⋅x  + b⋅y ⎠⋅ℯ         

  2⎛                  2    2⎞
 ∂ ⎜⎛   2      2⎞  - x  - y ⎟
───⎝⎝a⋅x  + b⋅y ⎠⋅ℯ         ⎠
  2                          
∂x                           

                                                 2    2
  ⎛       2          2      2 ⎛   2      2⎞⎞  - x  - y 
2⋅⎝- 5⋅a⋅x  + a - b⋅y  + 2⋅x ⋅⎝a⋅x  + b⋅y ⎠⎠⋅ℯ         

  ⎛                  2    2⎞
∂ ⎜⎛   2      2⎞  - x  - y ⎟
──⎝⎝a⋅x  + b⋅y ⎠⋅ℯ         ⎠
∂y                          

          2    2                         2    2
       - x  - y        ⎛   2      2⎞  - x  - y 
2⋅b⋅y⋅ℯ          - 2⋅y⋅⎝a⋅x  + b⋅y ⎠⋅ℯ         

  2⎛                  2    2⎞
 ∂ ⎜⎛   2      2⎞  - x  - y ⎟
───⎝⎝a⋅x  + b⋅y ⎠⋅ℯ         ⎠
  2                          
∂y                           

                                                 2    2
  ⎛     2        2          2 ⎛   2      2⎞⎞  - x  - y 
2⋅⎝- a⋅x  - 5⋅b⋅y  + b + 2⋅y ⋅⎝a⋅x  + b⋅y ⎠⎠⋅ℯ         

              2    2               2    2                           2    2
           - x  - y             - x  - y          ⎛   2      2⎞  - x  - y 
- 4⋅a⋅x⋅y⋅ℯ          - 4⋅b⋅x⋅y⋅ℯ          + 4⋅x⋅y⋅⎝a⋅x  + b⋅y ⎠⋅ℯ         
              2    2               2    2                           2    2    
           - x  - y             - x  - y          ⎛   2      2⎞  - x  - y     
- 4⋅a⋅x⋅y⋅ℯ          - 4⋅b⋅x⋅y⋅ℯ          + 4⋅x⋅y⋅⎝a⋅x  + b⋅y ⎠⋅ℯ          - 4

                                                                              
 ⎛       2          2      2 ⎛   2      2⎞⎞ ⎛     2        2          2 ⎛   2 
⋅⎝- 5⋅a⋅x  + a - b⋅y  + 2⋅x ⋅⎝a⋅x  + b⋅y ⎠⎠⋅⎝- a⋅x  - 5⋅b⋅y  + b + 2⋅y ⋅⎝a⋅x  

               2      2
     2⎞⎞  - 2⋅x  - 2⋅y 
+ b⋅y ⎠⎠⋅ℯ             

⎡                            ⎧             __________⎫  ⎧            _________
⎢                            ⎨            ╱    2     ⎬  ⎨           ╱    2    
⎣{a: 0, b: 0}, {a: 0, y: 0}, ⎩a: b, x: -╲╱  - y  + 1 ⎭, ⎩a: b, x: ╲╱  - y  + 1

_⎫                                                         ⎤
 ⎬                                                         ⎥
 ⎭, {b: 0, x: 0}, {x: 0, y: -1}, {x: 0, y: 0}, {x: 0, y: 1}⎦

$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.005">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-5">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="5">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-5">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="5">
<br>
<label for="x0">x0 = </label>
<input id="x0" type="number" value="0">
<label for="y0">y0 = </label>
<input id="y0" type="number" value="0">
<br>
<label for="a0">a0 = </label>
<input id="a0" type="number" value="1">
<label for="b0">b0 = </label>
<input id="b0" type="number" value="2">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample1.js"></script>    

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    input_x0 = document.querySelector('#x0'),
    input_y0 = document.querySelector('#y0'),            
    input_a0 = document.querySelector('#a0'),        
    input_b0 = document.querySelector('#b0'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
              input_x0, input_y0, input_a0, input_b0],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value),
        x0 = parseFloat(input_x0.value),
        y0 = parseFloat(input_y0.value),
        a0 = parseFloat(input_a0.value),
        b0 = parseFloat(input_b0.value);
        
    
    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }
    
    let points = [],
        f = (x, y) =>
        Math.exp(-(x ** 2) - (y  ** 2)) * (a0 * x ** 2 + b0 * y ** 2),
        g = (x) => f(x, y0),
        h = (y) => f(x0, y),
        lines = [],
        fns = [[g, 'red'],
               [h, 'green']];
    fns
        .forEach((o) => {
            let [fn, color] = o;
            
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = fn(x);
                
                if (Math.abs(y) < Infinity) {
                    points.push([x, y, color]);
                }
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);

    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');
    
    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);
    p(fns.join('\n'));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =
x0 = y0 =
a0 = b0 =