数学 - 解析学 - 多変数の関数 - 極値問題(直交単位ベクトル、長さ、最小、内積(ドット積))

解析入門〈3〉

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  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.3(極値問題)、問題3.を取り組んでみる。

3. 
   
   $\begin{array}{}{\left|a-\underset{i=1}{\overset{r}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{x}_i{u}_i\right|}^2\\ =\left(a-\underset{i=1}{\overset{r}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{x}_i{u}_i\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(a-\underset{i=1}{\overset{r}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{x}_i{u}_i\right)\\ ={\left|a\right|}^2-2a\underset{i=1}{\overset{r}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{x}_i{u}_i+{\left|\underset{i=1}{\overset{r}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{x}_i{u}_i\right|}^2\\ ={\left|a\right|}^2-2\underset{i=1}{\overset{r}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{x}_i\left(a·\; <!--\; middle\; dot\; -->u_i\right)+\underset{i=1}{\overset{r}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{x}_i^2\\ ={\left|a\right|}^2+\underset{i=1}{\overset{r}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(x_i^2-2\left(a·\; <!--\; middle\; dot\; -->u_i\right)x_i\right)\\ ={\left|a\right|}^2+\underset{i=1}{\overset{r}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left({\left(x_i-\left(a·\; <!--\; middle\; dot\; -->u_i\right)\right)}^2-{\left(a·\; <!--\; middle\; dot\; -->u_i\right)}^2\right)\end{array}$

   よって、最小となるの は

   $x_i=a·\; <!--\; middle\; dot\; -->u_i\left(i=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,r\right)$

   のときである。

   （証明終）