2018年3月18日日曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題1.を取り組んでみる。


  1. v 1 , , v n

    を V の基底とする。

    u、 w を W の任意の元とする。

    F は全射なので、

    F x 1 v 1 + + x n v n = u F y 1 v 1 + + y n v n = w

    とおく。

    u = w

    ならば

    F x 1 v 1 + + x n v n = F y 1 v 1 + + y n v n x 1 F v 1 + + x n F v n = y 1 F v 1 + + y n F v n x 1 - y 1 F v 1 + + x n - y n F v h = 0

    また問題の仮定より、

    dim V = dim W

    なので、

    F v 1 , , F v n

    は1次独立である。

    よって、

    x 1 = y 1 , , x n = y n

    ゆえに、

    x 1 v 1 + + x n v n = y 1 v 1 + + y n v n

    以上より、 F は単射である。

    よって F は同形写像である。

    (証明終)

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