数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 高次偏導関数、テイラーの定理(二階微分の和、距離、平方根)

解析入門〈3〉

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  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次偏導関数、テイラーの定理)、問題8.を取り組んでみる。

8. 
   
   $\begin{array}{}\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->f}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x_i}\\ =g\text{'}\left(r\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{2}{\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{x}_k^2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->2x_i\\ =\frac{g\text{'}\left(r\right)}{r}{x}_i\end{array}$
   $\begin{array}{}\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}f}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x_i^2}\\ =\frac{g\text{'}\text{'}\left(r\right)r-g\text{'}\left(r\right)}{r^2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{x_i^2}{r}+\frac{g\text{'}\left(r\right)}{r}\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}f}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x_i}\\ =\frac{g\text{'}\text{'}\left(r\right)r-g\text{'}\left(r\right)}{r^2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{r}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{x}_i^2+\frac{n}{r}g\text{'}\left(r\right)\\ =\frac{g\text{'}\text{'}\left(r\right)r-g\text{'}\left(r\right)}{r^2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{r}·\; <!--\; middle\; dot\; -->r^2+\frac{n}{r}g\text{'}\left(r\right)\\ =g\text{'}\text{'}\left(r\right)+\frac{n-1}{r}g\text{'}\left(r\right)\\ =\frac{d^{2}g}{d{r}^2}+\frac{n-1}{r}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\mathrm{dg}}{dr}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, Derivative, Function

n = 5
xs = symbols([f'x{i}' for i in range(1, n + 1)])
r = sqrt(sum([x ** 2 for x in xs]))
f = r ** 2
s = sum([Derivative(f, x, 2) for x in xs])

for t in [f, s, s.doit()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample8.py
  2     2     2     2     2
x₁  + x₂  + x₃  + x₄  + x₅ 

  2                                   2                                   2   
 ∂  ⎛  2     2     2     2     2⎞    ∂  ⎛  2     2     2     2     2⎞    ∂  ⎛ 
────⎝x₁  + x₂  + x₃  + x₄  + x₅ ⎠ + ────⎝x₁  + x₂  + x₃  + x₄  + x₅ ⎠ + ────⎝x
   2                                   2                                   2  
∂x₁                                 ∂x₂                                 ∂x₃   

                                2                                   2         
 2     2     2     2     2⎞    ∂  ⎛  2     2     2     2     2⎞    ∂  ⎛  2    
₁  + x₂  + x₃  + x₄  + x₅ ⎠ + ────⎝x₁  + x₂  + x₃  + x₄  + x₅ ⎠ + ────⎝x₁  + x
                                 2                                   2        
                              ∂x₄                                 ∂x₅         

                     
 2     2     2     2⎞
₂  + x₃  + x₄  + x₅ ⎠
                     
                     

10

$