数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 高次偏導関数、テイラーの定理(合成関数の微分法)

解析入門〈3〉

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次偏導関数、テイラーの定理)、問題3-(a).を取り組んでみる。

3. 1. 
      
      $t=ax+by$
      $\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x}=f\left(t\right)+axf\text{'}\left(t\right)+ayg\text{'}\left(t\right)$
      $\begin{array}{}\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x^2}=af\text{'}\left(t\right)+af\text{'}\left(t\right)+a^{2}xf\text{'}\text{'}\left(f\right)+a^{2}yg\text{'}\text{'}\left(t\right)\\ =2af\text{'}\left(t\right)+a^{2}xf\text{'}\text{'}\left(t\right)+a^{2}yg\text{'}\text{'}\left(t\right)\end{array}$
      $\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}=g\left(t\right)+byg\text{'}\left(t\right)+bxf\text{'}\left(t\right)$
      $\begin{array}{}\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y^2}=bg\text{'}\left(t\right)+bg\text{'}\left(t\right)+b^{2}yg\text{'}\text{'}\left(t\right)+b^{2}xf\text{'}\text{'}\left(t\right)\\ =2bg\text{'}\left(t\right)+b^{2}yg\text{'}\text{'}\left(t\right)+b^{2}xf\text{'}\text{'}\left(t\right)\end{array}$
      $\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}=ag\text{'}\left(t\right)+abyg\text{'}\text{'}\left(t\right)+bf\text{'}\left(t\right)+abxf\text{'}\text{'}\left(t\right)$
      $b^2\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x^2}=2a{b}^{2}f\text{'}\left(t\right)+a^2{b}^{2}xf\text{'}\text{'}\left(t\right)+a^2{b}^{2}yg\text{'}\text{'}\left(t\right)$
      $a^2\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y^2}=2a^{2}bg\text{'}\left(t\right)+a^2{b}^{2}yg\text{'}\text{'}\left(t\right)+a^2{b}^{2}xf\text{'}\text{'}\left(t\right)$
      $2ab\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}=2a^{2}bg\text{'}\left(t\right)+2a^2{b}^{2}yg\text{'}\text{'}\left(t\right)+2a{b}^{2}f\text{'}\left(t\right)+2a^2{b}^{2}xf\text{'}\text{'}\left(t\right)$

      よって、

      $b^2\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x^2}-2ab\frac{{\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}+a^2\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y^2}=0$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Function, Derivative

a, b, x, y = symbols('a, b, x, y')
f = Function('f')(a * x + b * y)
g = Function('g')(a * x + b * y)
z = x * f + y * g
eq = b ** 2 * Derivative(z, x, 2) - 2 * a * b * \
    Derivative(Derivative(z, y, 1), x, 1) + a ** 2 * Derivative(z, y, 2)
for t in [f, g, z, eq]:
    for s in [t, t.doit().factor()]:
        pprint(s)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
f(a⋅x + b⋅y)

f(a⋅x + b⋅y)


g(a⋅x + b⋅y)

g(a⋅x + b⋅y)


x⋅f(a⋅x + b⋅y) + y⋅g(a⋅x + b⋅y)

x⋅f(a⋅x + b⋅y) + y⋅g(a⋅x + b⋅y)


     2                                          ⎛      ⎛  2        ⎞│         
 2  ∂                                           ⎜      ⎜ d         ⎟│         
a ⋅───(x⋅f(a⋅x + b⋅y) + y⋅g(a⋅x + b⋅y)) - 2⋅a⋅b⋅⎜a⋅b⋅x⋅⎜────(f(ξ₁))⎟│         
     2                                          ⎜      ⎜   2       ⎟│         
   ∂y                                           ⎝      ⎝dξ₁        ⎠│ξ₁=a⋅x + 

            ⎛  2        ⎞│                                                    
            ⎜ d         ⎟│                 ⎛ d        ⎞│                 ⎛ d  
    + a⋅b⋅y⋅⎜────(g(ξ₁))⎟│             + a⋅⎜───(g(ξ₁))⎟│             + b⋅⎜───(
            ⎜   2       ⎟│                 ⎝dξ₁       ⎠│ξ₁=a⋅x + b⋅y     ⎝dξ₁ 
b⋅y         ⎝dξ₁        ⎠│ξ₁=a⋅x + b⋅y                                        

                    ⎞        2                                 
      ⎞│            ⎟    2  ∂                                  
f(ξ₁))⎟│            ⎟ + b ⋅───(x⋅f(a⋅x + b⋅y) + y⋅g(a⋅x + b⋅y))
      ⎠│ξ₁=a⋅x + b⋅y⎟        2                                 
                    ⎠      ∂x                                  

0


$