2018年2月14日水曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(行列式)、8(余因子行列と逆行列)、問題3-(a).を取り組んでみる。



    1. 余因子。

      Δ 11 = - 1 1 + 1 1 - 1 = 0 Δ 12 = - 1 1 + 2 - i - 1 = 1 + i Δ 13 = - 1 1 + 3 - 1 + i = - 1 + i Δ 21 = - 1 2 + 1 i - 1 = 1 - i Δ 22 = - 1 2 + 2 1 - 1 = 0 Δ 23 = - 1 2 + 3 - i - 1 = 1 + i Δ 31 = - 1 3 + 1 - 1 - i = - 1 - i Δ 32 = - 1 3 + 2 i - 1 = 1 - i Δ 33 = - 1 3 + 3 1 - 1 = 0

      行列式。

      det A = 1 + i - i - 1 + 1 + 1 = - 2

      よって、求める逆行列は

      A - 1 = - 1 2 ( 0 1 - i - 1 - i 1 + i 0 1 - i - 1 + i 1 + i 0 )

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, I, Matrix, Rational

A = Matrix([[1, I, I],
            [-I, 1, I],
            [-I, -I, 1]])
A1 = -Rational(1, 2) * Matrix([[0, 1 - I, -1 - I],
                               [1 + I, 0, 1 - I],
                               [-1 + I, 1 + I, 0]])
for t in [A, A1, A * A1, A ** -1]:
    pprint(t.expand())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
⎡1   ⅈ   ⅈ⎤
⎢         ⎥
⎢-ⅈ  1   ⅈ⎥
⎢         ⎥
⎣-ⅈ  -ⅈ  1⎦

⎡           1   ⅈ   1   ⅈ ⎤
⎢   0     - ─ + ─   ─ + ─ ⎥
⎢           2   2   2   2 ⎥
⎢                         ⎥
⎢  1   ⅈ             1   ⅈ⎥
⎢- ─ - ─     0     - ─ + ─⎥
⎢  2   2             2   2⎥
⎢                         ⎥
⎢ 1   ⅈ     1   ⅈ         ⎥
⎢ ─ - ─   - ─ - ─     0   ⎥
⎣ 2   2     2   2         ⎦

⎡1  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  1  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  1⎦

⎡           1   ⅈ   1   ⅈ ⎤
⎢   0     - ─ + ─   ─ + ─ ⎥
⎢           2   2   2   2 ⎥
⎢                         ⎥
⎢  1   ⅈ             1   ⅈ⎥
⎢- ─ - ─     0     - ─ + ─⎥
⎢  2   2             2   2⎥
⎢                         ⎥
⎢ 1   ⅈ     1   ⅈ         ⎥
⎢ ─ - ─   - ─ - ─     0   ⎥
⎣ 2   2     2   2         ⎦

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