数学 - Python - 線型代数 - 行列式 - 積の行列式(階数(rank))

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(行列式)、7(積の行列式)、問題5.を取り組んでみる。

5. 
   
   $\begin{array}{}rankAB\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->rankA\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->n\\ <m\end{array}$

   また、行列 AB は m 次正方行列なので、

   $\det \left(AB\right)=0$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

for m in range(1, 4):
    for n in range(1, 4):
        A = Matrix([[symbols(f'a{i + 1}{j + 1}') for i in range(m)]
                    for j in range(n)])
        B = Matrix([[symbols(f'b{i + 1}{j + 1}') for i in range(n)]
                    for j in range(m)])
        C = A * B
        D = C.det()
        for t in [A, B, C, D]:
            pprint(t)
            print()
        print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample5.py
[a₁₁]

[b₁₁]

[a₁₁⋅b₁₁]

a₁₁⋅b₁₁


⎡a₁₁⎤
⎢   ⎥
⎣a₁₂⎦

[b₁₁  b₂₁]

⎡a₁₁⋅b₁₁  a₁₁⋅b₂₁⎤
⎢                ⎥
⎣a₁₂⋅b₁₁  a₁₂⋅b₂₁⎦

0


⎡a₁₁⎤
⎢   ⎥
⎢a₁₂⎥
⎢   ⎥
⎣a₁₃⎦

[b₁₁  b₂₁  b₃₁]

⎡a₁₁⋅b₁₁  a₁₁⋅b₂₁  a₁₁⋅b₃₁⎤
⎢                         ⎥
⎢a₁₂⋅b₁₁  a₁₂⋅b₂₁  a₁₂⋅b₃₁⎥
⎢                         ⎥
⎣a₁₃⋅b₁₁  a₁₃⋅b₂₁  a₁₃⋅b₃₁⎦

0


[a₁₁  a₂₁]

⎡b₁₁⎤
⎢   ⎥
⎣b₁₂⎦

[a₁₁⋅b₁₁ + a₂₁⋅b₁₂]

a₁₁⋅b₁₁ + a₂₁⋅b₁₂


⎡a₁₁  a₂₁⎤
⎢        ⎥
⎣a₁₂  a₂₂⎦

⎡b₁₁  b₂₁⎤
⎢        ⎥
⎣b₁₂  b₂₂⎦

⎡a₁₁⋅b₁₁ + a₂₁⋅b₁₂  a₁₁⋅b₂₁ + a₂₁⋅b₂₂⎤
⎢                                    ⎥
⎣a₁₂⋅b₁₁ + a₂₂⋅b₁₂  a₁₂⋅b₂₁ + a₂₂⋅b₂₂⎦

(a₁₁⋅b₁₁ + a₂₁⋅b₁₂)⋅(a₁₂⋅b₂₁ + a₂₂⋅b₂₂) - (a₁₁⋅b₂₁ + a₂₁⋅b₂₂)⋅(a₁₂⋅b₁₁ + a₂₂⋅b
₁₂)


⎡a₁₁  a₂₁⎤
⎢        ⎥
⎢a₁₂  a₂₂⎥
⎢        ⎥
⎣a₁₃  a₂₃⎦

⎡b₁₁  b₂₁  b₃₁⎤
⎢             ⎥
⎣b₁₂  b₂₂  b₃₂⎦

⎡a₁₁⋅b₁₁ + a₂₁⋅b₁₂  a₁₁⋅b₂₁ + a₂₁⋅b₂₂  a₁₁⋅b₃₁ + a₂₁⋅b₃₂⎤
⎢                                                       ⎥
⎢a₁₂⋅b₁₁ + a₂₂⋅b₁₂  a₁₂⋅b₂₁ + a₂₂⋅b₂₂  a₁₂⋅b₃₁ + a₂₂⋅b₃₂⎥
⎢                                                       ⎥
⎣a₁₃⋅b₁₁ + a₂₃⋅b₁₂  a₁₃⋅b₂₁ + a₂₃⋅b₂₂  a₁₃⋅b₃₁ + a₂₃⋅b₃₂⎦

(a₁₁⋅b₁₁ + a₂₁⋅b₁₂)⋅(a₁₂⋅b₂₁ + a₂₂⋅b₂₂)⋅(a₁₃⋅b₃₁ + a₂₃⋅b₃₂) - (a₁₁⋅b₁₁ + a₂₁⋅b
₁₂)⋅(a₁₂⋅b₃₁ + a₂₂⋅b₃₂)⋅(a₁₃⋅b₂₁ + a₂₃⋅b₂₂) - (a₁₁⋅b₂₁ + a₂₁⋅b₂₂)⋅(a₁₂⋅b₁₁ + a
₂₂⋅b₁₂)⋅(a₁₃⋅b₃₁ + a₂₃⋅b₃₂) + (a₁₁⋅b₂₁ + a₂₁⋅b₂₂)⋅(a₁₂⋅b₃₁ + a₂₂⋅b₃₂)⋅(a₁₃⋅b₁₁
 + a₂₃⋅b₁₂) + (a₁₁⋅b₃₁ + a₂₁⋅b₃₂)⋅(a₁₂⋅b₁₁ + a₂₂⋅b₁₂)⋅(a₁₃⋅b₂₁ + a₂₃⋅b₂₂) - (a
₁₁⋅b₃₁ + a₂₁⋅b₃₂)⋅(a₁₂⋅b₂₁ + a₂₂⋅b₂₂)⋅(a₁₃⋅b₁₁ + a₂₃⋅b₁₂)


[a₁₁  a₂₁  a₃₁]

⎡b₁₁⎤
⎢   ⎥
⎢b₁₂⎥
⎢   ⎥
⎣b₁₃⎦

[a₁₁⋅b₁₁ + a₂₁⋅b₁₂ + a₃₁⋅b₁₃]

a₁₁⋅b₁₁ + a₂₁⋅b₁₂ + a₃₁⋅b₁₃


⎡a₁₁  a₂₁  a₃₁⎤
⎢             ⎥
⎣a₁₂  a₂₂  a₃₂⎦

⎡b₁₁  b₂₁⎤
⎢        ⎥
⎢b₁₂  b₂₂⎥
⎢        ⎥
⎣b₁₃  b₂₃⎦

⎡a₁₁⋅b₁₁ + a₂₁⋅b₁₂ + a₃₁⋅b₁₃  a₁₁⋅b₂₁ + a₂₁⋅b₂₂ + a₃₁⋅b₂₃⎤
⎢                                                        ⎥
⎣a₁₂⋅b₁₁ + a₂₂⋅b₁₂ + a₃₂⋅b₁₃  a₁₂⋅b₂₁ + a₂₂⋅b₂₂ + a₃₂⋅b₂₃⎦

(a₁₁⋅b₁₁ + a₂₁⋅b₁₂ + a₃₁⋅b₁₃)⋅(a₁₂⋅b₂₁ + a₂₂⋅b₂₂ + a₃₂⋅b₂₃) - (a₁₁⋅b₂₁ + a₂₁⋅b
₂₂ + a₃₁⋅b₂₃)⋅(a₁₂⋅b₁₁ + a₂₂⋅b₁₂ + a₃₂⋅b₁₃)


⎡a₁₁  a₂₁  a₃₁⎤
⎢             ⎥
⎢a₁₂  a₂₂  a₃₂⎥
⎢             ⎥
⎣a₁₃  a₂₃  a₃₃⎦

⎡b₁₁  b₂₁  b₃₁⎤
⎢             ⎥
⎢b₁₂  b₂₂  b₃₂⎥
⎢             ⎥
⎣b₁₃  b₂₃  b₃₃⎦

⎡a₁₁⋅b₁₁ + a₂₁⋅b₁₂ + a₃₁⋅b₁₃  a₁₁⋅b₂₁ + a₂₁⋅b₂₂ + a₃₁⋅b₂₃  a₁₁⋅b₃₁ + a₂₁⋅b₃₂ +
⎢                                                                             
⎢a₁₂⋅b₁₁ + a₂₂⋅b₁₂ + a₃₂⋅b₁₃  a₁₂⋅b₂₁ + a₂₂⋅b₂₂ + a₃₂⋅b₂₃  a₁₂⋅b₃₁ + a₂₂⋅b₃₂ +
⎢                                                                             
⎣a₁₃⋅b₁₁ + a₂₃⋅b₁₂ + a₃₃⋅b₁₃  a₁₃⋅b₂₁ + a₂₃⋅b₂₂ + a₃₃⋅b₂₃  a₁₃⋅b₃₁ + a₂₃⋅b₃₂ +

 a₃₁⋅b₃₃⎤
        ⎥
 a₃₂⋅b₃₃⎥
        ⎥
 a₃₃⋅b₃₃⎦

(a₁₁⋅b₁₁ + a₂₁⋅b₁₂ + a₃₁⋅b₁₃)⋅(a₁₂⋅b₂₁ + a₂₂⋅b₂₂ + a₃₂⋅b₂₃)⋅(a₁₃⋅b₃₁ + a₂₃⋅b₃₂
 + a₃₃⋅b₃₃) - (a₁₁⋅b₁₁ + a₂₁⋅b₁₂ + a₃₁⋅b₁₃)⋅(a₁₂⋅b₃₁ + a₂₂⋅b₃₂ + a₃₂⋅b₃₃)⋅(a₁₃
⋅b₂₁ + a₂₃⋅b₂₂ + a₃₃⋅b₂₃) - (a₁₁⋅b₂₁ + a₂₁⋅b₂₂ + a₃₁⋅b₂₃)⋅(a₁₂⋅b₁₁ + a₂₂⋅b₁₂ +
 a₃₂⋅b₁₃)⋅(a₁₃⋅b₃₁ + a₂₃⋅b₃₂ + a₃₃⋅b₃₃) + (a₁₁⋅b₂₁ + a₂₁⋅b₂₂ + a₃₁⋅b₂₃)⋅(a₁₂⋅b
₃₁ + a₂₂⋅b₃₂ + a₃₂⋅b₃₃)⋅(a₁₃⋅b₁₁ + a₂₃⋅b₁₂ + a₃₃⋅b₁₃) + (a₁₁⋅b₃₁ + a₂₁⋅b₃₂ + a
₃₁⋅b₃₃)⋅(a₁₂⋅b₁₁ + a₂₂⋅b₁₂ + a₃₂⋅b₁₃)⋅(a₁₃⋅b₂₁ + a₂₃⋅b₂₂ + a₃₃⋅b₂₃) - (a₁₁⋅b₃₁
 + a₂₁⋅b₃₂ + a₃₁⋅b₃₃)⋅(a₁₂⋅b₂₁ + a₂₂⋅b₂₂ + a₃₂⋅b₂₃)⋅(a₁₃⋅b₁₁ + a₂₃⋅b₁₂ + a₃₃⋅b
₁₃)


$