2018年2月15日木曜日

学習環境

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次偏導関数、テイラーの定理)、問題11.を取り組んでみる。


  1. g r = g r a d f x , y , z · sin θ cos φ , sin θ sin φ , cos θ = f x sin θ cos φ + f y sin θ sin φ + f z cos θ
    g θ = f x r cos θ cos φ + f y r cos θ sin φ - f z r sin θ
    g φ = - f x r sin θ sin φ + f y r sin θ cos φ
    1 r g θ = f x cos θ cos φ + f y cos θ sin φ - f z sin θ
    1 r sin θ g φ = - f x sin φ + f y cos φ
    g r 2 = f x 2 sin 2 θ cos 2 φ + f y 2 sin 2 θ sin 2 φ + f z 2 cos 2 θ + 2 f x · f y sin 2 θ sin φ cos φ + 2 f y · f z sin θ cos θ sin φ + 2 f z · f x sin θ cos θ cos φ
    1 r g θ 2 = f x 2 cos 2 θ cos 2 φ + f y 2 cos 2 θ sin 2 φ + f z 2 sin 2 θ + 2 f x · f y cos 2 θ sin φ cos φ - 2 f y · f z sin θ cos θ sin φ - 2 f z f x sin θ cos θ cos φ
    1 r sin θ g φ 2 = f x 2 sin 2 φ + f y 2 cos 2 φ - 2 f x f y sin φ cos φ

    よって、

    g r 2 + 1 r g θ 2 + 1 r sin θ g φ 2 = f x 2 sin 2 θ cos 2 φ + cos 2 θ cos 2 φ + sin 2 φ + f y 2 sin 2 θ sin 2 φ + cos 2 θ sin 2 φ + cos 2 φ + f z 2 cos 2 θ + sin 2 θ + 2 f x f y sin 2 θ sin φ cos φ + cos 2 θ sin φ cos φ - sin φ cos φ + 2 f y f z sin θ cos θ sin φ - sin θ cos θ sin φ + 2 f z f x sin θ cos θ cos φ - sin θ cos θ cos φ = f x 2 + f y 2 + f z 2

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, Derivative, Function

r, a, b = symbols('r, a, b', nonzero=True)
x = r * sin(a) * cos(b)
y = r * sin(a) * sin(b)
z = r * cos(b)
g = Function('g')(r, a, b)
expr = Derivative(g, r, 1) ** 2 + (1 / r * Derivative(g, a, 1)
                                   ) ** 2 + (1 / (r * sin(a)) * Derivative(g, b, 1)) ** 2
for t in [expr, expr.doit()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample11.py
                                    2                   2
                    ⎛∂             ⎞    ⎛∂             ⎞ 
                2   ⎜──(g(r, a, b))⎟    ⎜──(g(r, a, b))⎟ 
⎛∂             ⎞    ⎝∂a            ⎠    ⎝∂b            ⎠ 
⎜──(g(r, a, b))⎟  + ───────────────── + ─────────────────
⎝∂r            ⎠             2               2    2      
                            r               r ⋅sin (a)   

                                    2                   2
                    ⎛∂             ⎞    ⎛∂             ⎞ 
                2   ⎜──(g(r, a, b))⎟    ⎜──(g(r, a, b))⎟ 
⎛∂             ⎞    ⎝∂a            ⎠    ⎝∂b            ⎠ 
⎜──(g(r, a, b))⎟  + ───────────────── + ─────────────────
⎝∂r            ⎠             2               2    2      
                            r               r ⋅sin (a)   

$

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