2018年2月8日木曜日

学習環境

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次偏導関数、テイラーの定理)、問題7.を取り組んでみる。


  1. z x = f ' x + a y + g ' x - a y 2 z x 2 = f ' ' x + a y + g ' ' x - a y z y = a f ' x + a y - a g ' x - a y 2 z y 2 = a 2 f ' ' x + a y + a 2 g ' ' x - a y

    よって、

    a 2 2 z x 2 = 2 z y 2

    逆に、この関係を満たす関数 f について。

    z = f x , y
    u = x + a y v = x - a y

    とおく。

    2 x = u + v x = u + v 2 y = u - v 2 a

    よって、

    z v = z x , z y · 1 2 , - 1 2 a = 1 2 z x - 1 a z y z u v = 1 2 2 z x 2 - 1 a 2 z x y , 2 z x y - 1 a 2 z y 2 · 1 2 , 1 2 a = 1 4 2 z x 2 - 1 a 2 z x y + 1 a 2 z x y - 1 a 2 2 z y 2 = 1 4 2 z x 2 - 1 a 2 2 z y 2 = 1 4 · 0 = 0

    ゆえに、

    z = f u + g v = f x + a y + g x - a y a 0

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, Function

a, x, y = symbols('a, x, y')
z = Function('f')(x + a * y) + Function('g')(x - a * y)
l = a ** 2 * Derivative(z, x, 2)
r = Derivative(z, y, 2)
for t in [z, l, l.doit(), r, r.doit(), l.doit() == r.doit()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample7.py
f(a⋅y + x) + g(-a⋅y + x)

     2                          
 2  ∂                           
a ⋅───(f(a⋅y + x) + g(-a⋅y + x))
     2                          
   ∂x                           

   ⎛⎛  2        ⎞│             ⎛  2        ⎞│           ⎞
 2 ⎜⎜ d         ⎟│             ⎜ d         ⎟│           ⎟
a ⋅⎜⎜────(f(ξ₁))⎟│           + ⎜────(g(ξ₁))⎟│           ⎟
   ⎜⎜   2       ⎟│             ⎜   2       ⎟│           ⎟
   ⎝⎝dξ₁        ⎠│ξ₁=a⋅y + x   ⎝dξ₁        ⎠│ξ₁=-a⋅y + x⎠

  2                          
 ∂                           
───(f(a⋅y + x) + g(-a⋅y + x))
  2                          
∂y                           

   ⎛⎛  2        ⎞│             ⎛  2        ⎞│           ⎞
 2 ⎜⎜ d         ⎟│             ⎜ d         ⎟│           ⎟
a ⋅⎜⎜────(f(ξ₁))⎟│           + ⎜────(g(ξ₁))⎟│           ⎟
   ⎜⎜   2       ⎟│             ⎜   2       ⎟│           ⎟
   ⎝⎝dξ₁        ⎠│ξ₁=a⋅y + x   ⎝dξ₁        ⎠│ξ₁=-a⋅y + x⎠

True

$

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