数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 高次偏導関数、テイラーの定理(二階微分、関数、関係、グラディエント(gradient)、内積(ドット積、スカラー積))

解析入門〈3〉

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次偏導関数、テイラーの定理)、問題7.を取り組んでみる。

7. 
   
   $\begin{array}{}\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x}=f\text{'}\left(x+ay\right)+g\text{'}\left(x-ay\right)\\ \frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x^2}=f\text{'}\text{'}\left(x+ay\right)+g\text{'}\text{'}\left(x-ay\right)\\ \frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}=af\text{'}\left(x+ay\right)-ag\text{'}\left(x-ay\right)\\ \frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y^2}=a^{2}f\text{'}\text{'}\left(x+ay\right)+a^{2}g\text{'}\text{'}\left(x-ay\right)\end{array}$

   よって、

   $a^2\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x^2}=\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y^2}$

   逆に、この関係を満たす関数 f について。

   $z=f\left(x,y\right)$
   $\begin{array}{}u=x+ay\\ v=x-ay\end{array}$

   とおく。

   $\begin{array}{}2x=u+v\\ x=\frac{u+v}{2}\\ y=\frac{u-v}{2a}\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{}\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->v}=\left(\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x},\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2a}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x}-\frac{1}{a}\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}\right)\\ \frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->u\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->v}=\frac{1}{2}\left(\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x^2}-\frac{1}{a}\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y},\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}-\frac{1}{a}\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y^2}\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2a}\right)\\ =\frac{1}{4}\left(\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x^2}-\frac{1}{a}\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}+\frac{1}{a}\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}-\frac{1}{a^2}\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y^2}\right)\\ =\frac{1}{4}\left(\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x^2}-\frac{1}{a^2}\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y^2}\right)\\ =\frac{1}{4}·\; <!--\; middle\; dot\; -->0\\ =0\end{array}$

   ゆえに、

   $z=f\left(u\right)+g\left(v\right)=f\left(x+ay\right)+g\left(x-ay\right)\left(a\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\right)$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, Function

a, x, y = symbols('a, x, y')
z = Function('f')(x + a * y) + Function('g')(x - a * y)
l = a ** 2 * Derivative(z, x, 2)
r = Derivative(z, y, 2)
for t in [z, l, l.doit(), r, r.doit(), l.doit() == r.doit()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample7.py
f(a⋅y + x) + g(-a⋅y + x)

     2                          
 2  ∂                           
a ⋅───(f(a⋅y + x) + g(-a⋅y + x))
     2                          
   ∂x                           

   ⎛⎛  2        ⎞│             ⎛  2        ⎞│           ⎞
 2 ⎜⎜ d         ⎟│             ⎜ d         ⎟│           ⎟
a ⋅⎜⎜────(f(ξ₁))⎟│           + ⎜────(g(ξ₁))⎟│           ⎟
   ⎜⎜   2       ⎟│             ⎜   2       ⎟│           ⎟
   ⎝⎝dξ₁        ⎠│ξ₁=a⋅y + x   ⎝dξ₁        ⎠│ξ₁=-a⋅y + x⎠

  2                          
 ∂                           
───(f(a⋅y + x) + g(-a⋅y + x))
  2                          
∂y                           

   ⎛⎛  2        ⎞│             ⎛  2        ⎞│           ⎞
 2 ⎜⎜ d         ⎟│             ⎜ d         ⎟│           ⎟
a ⋅⎜⎜────(f(ξ₁))⎟│           + ⎜────(g(ξ₁))⎟│           ⎟
   ⎜⎜   2       ⎟│             ⎜   2       ⎟│           ⎟
   ⎝⎝dξ₁        ⎠│ξ₁=a⋅y + x   ⎝dξ₁        ⎠│ξ₁=-a⋅y + x⎠

True

$