数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 高次偏導関数、テイラーの定理(三角関数(正弦、余弦)、極座標、累乗(べき乗)、グラディエント(gradient)、内積(ドット積、スカラー積))

解析入門〈3〉

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次偏導関数、テイラーの定理)、問題5.を取り組んでみる。

5. 
   
   $\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->g}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->r}=n{r}^{n-1}\left(\arccos n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+b\sin n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)$
   $\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}g}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->r^2}=n\left(n-1\right)r^{n-2}\left(\arccos n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+b\sin n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)$
   $\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->g}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}=r^n\left(-an\sin n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+bn\cos n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)$
   $\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}r}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2}=r^n\left(-a{n}^2\cos n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}-b{n}^2\sin n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)$

   よって、

   $\begin{array}{}\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}g}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->g}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}g}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2}\\ =r^{n-2}\left(n\left(n-1\right)(\arccos n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+b\sin n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)+n\left(\arccos n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+b\sin n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\\ -a{n}^2\cos n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}-b{n}^2\sin n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->})\\ =r^{n-2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->0\\ =0\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, Derivative

r, θ, n, a, b = symbols('r, θ, n, a, b', real=True)
g = r ** n * (a * cos(n * θ) + b * sin(n * θ))
D = Derivative(g, r, 2) + 1 / r * Derivative(g, r, 1) + \
    1 / r ** 2 * Derivative(g, θ, 2)
for t in [g, D, D.doit()]:
    pprint(t.factor())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample5.py
 n                          
r ⋅(a⋅cos(n⋅θ) + b⋅sin(n⋅θ))

     2                                                                        
 2  ∂ ⎛   n               n         ⎞     ∂ ⎛   n               n         ⎞   
r ⋅───⎝a⋅r ⋅cos(n⋅θ) + b⋅r ⋅sin(n⋅θ)⎠ + r⋅──⎝a⋅r ⋅cos(n⋅θ) + b⋅r ⋅sin(n⋅θ)⎠ + 
     2                                    ∂r                                  
   ∂r                                                                         
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                        2                     
                                                       r                      

  2                               
 ∂ ⎛   n               n         ⎞
───⎝a⋅r ⋅cos(n⋅θ) + b⋅r ⋅sin(n⋅θ)⎠
  2                               
∂θ                                
──────────────────────────────────
                                  
                                  

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