2018年2月6日火曜日

学習環境

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次偏導関数、テイラーの定理)、問題5.を取り組んでみる。


  1. g r = n r n - 1 arccos n θ + b sin n θ
    2 g r 2 = n n - 1 r n - 2 arccos n θ + b sin n θ
    g θ = r n - a n sin n θ + b n cos n θ
    2 r θ 2 = r n - a n 2 cos n θ - b n 2 sin n θ

    よって、

    2 g r 2 + 1 r g r + 1 r 2 2 g θ 2 = r n - 2 n n - 1 ( arccos n θ + b sin n θ + n arccos n θ + b sin n θ - a n 2 cos n θ - b n 2 sin n θ ) = r n - 2 · 0 = 0

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, Derivative

r, θ, n, a, b = symbols('r, θ, n, a, b', real=True)
g = r ** n * (a * cos(n * θ) + b * sin(n * θ))
D = Derivative(g, r, 2) + 1 / r * Derivative(g, r, 1) + \
    1 / r ** 2 * Derivative(g, θ, 2)
for t in [g, D, D.doit()]:
    pprint(t.factor())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample5.py
 n                          
r ⋅(a⋅cos(n⋅θ) + b⋅sin(n⋅θ))

     2                                                                        
 2  ∂ ⎛   n               n         ⎞     ∂ ⎛   n               n         ⎞   
r ⋅───⎝a⋅r ⋅cos(n⋅θ) + b⋅r ⋅sin(n⋅θ)⎠ + r⋅──⎝a⋅r ⋅cos(n⋅θ) + b⋅r ⋅sin(n⋅θ)⎠ + 
     2                                    ∂r                                  
   ∂r                                                                         
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                        2                     
                                                       r                      

  2                               
 ∂ ⎛   n               n         ⎞
───⎝a⋅r ⋅cos(n⋅θ) + b⋅r ⋅sin(n⋅θ)⎠
  2                               
∂θ                                
──────────────────────────────────
                                  
                                  

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