2018年2月5日月曜日

学習環境

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次偏導関数、テイラーの定理)、問題4.を取り組んでみる。


  1. g r = g r a d f x , y . cos θ , sin θ = f x cos θ + f y sin θ
    2 g r 2 = 2 f x 2 cos θ + 2 f x y sin θ , 2 f y x cos θ + 2 f y 2 sin θ · cos θ , sin θ = 2 f x 2 cos 2 θ + 2 2 f x y sin θ cos θ + 2 f y 2 sin 2 θ
    g θ = f x , f y · - r sin θ , r cos θ = - f x r sin θ + f y r cos θ
    2 g θ 2 = - 2 f x 2 , 2 f y x · - r sin θ , r cos θ · r sin θ - f x r cos θ + 2 f x y , 2 f y 2 · - r sin θ , r cos θ · r cos θ - f y r sin θ = 2 f x 2 r 2 sin 2 θ - 2 f x y r 2 sin θ cos θ - f x r cos θ - 2 f x y r 2 sin θ cos θ + 2 f y 2 r 2 cos 2 θ - f y r sin θ = 2 f x 2 r 2 sin 2 θ - 2 2 f x y r 2 sin θ cos θ + 2 f y 2 r 2 cos 2 θ - f x r cos θ - f y r sin θ

    よって、

    2 g r 2 + 1 r g r + 1 r 2 2 g θ 2 = 2 f x 2 cos 2 θ + sin 2 θ + 2 f y 2 sin 2 θ + cos 2 θ + 2 f x y 2 sin θ cos θ - 2 sin θ cos θ + f x 1 r cos θ - 1 r cos θ + f y 1 r sin θ - 1 r sin θ = 2 f x 2 + 2 f y 2

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, Function, Derivative

r, θ = symbols('r, θ', real=True)
x = r * sin(θ)
y = r * cos(θ)
f = Function('f')(x, y)
Df = Derivative(f, r, 2) + 1 / r * Derivative(f, r, 1) + \
    1 / (r ** 2) * Derivative(f, r, 2)

for t in [Df, Df.doit(), Df.doit().factor()]:
    pprint(t.factor())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
     2                                                          2             
 2  ∂                             ∂                            ∂              
r ⋅───(f(r⋅sin(θ), r⋅cos(θ))) + r⋅──(f(r⋅sin(θ), r⋅cos(θ))) + ───(f(r⋅sin(θ), 
     2                            ∂r                            2             
   ∂r                                                         ∂r              
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                            2                                 
                                           r                                  

          
          
r⋅cos(θ)))
          
          
──────────
          
          

           ⎛  2                  ⎞│                                 ⎛⎛    2   
 2    2    ⎜ ∂                   ⎟│                 2               ⎜⎜   ∂    
r ⋅sin (θ)⋅⎜────(f(ξ₁, r⋅cos(θ)))⎟│            + 2⋅r ⋅sin(θ)⋅cos(θ)⋅⎜⎜───────(
           ⎜   2                 ⎟│                                 ⎝⎝∂ξ₂ ∂ξ₁ 
           ⎝∂ξ₁                  ⎠│ξ₁=r⋅sin(θ)                                
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                                              
                                                                              

          ⎞│           ⎞│                         ⎛  2                  ⎞│    
          ⎟│           ⎟│               2    2    ⎜ ∂                   ⎟│    
f(ξ₁, ξ₂))⎟│           ⎟│            + r ⋅cos (θ)⋅⎜────(f(r⋅sin(θ), ξ₂))⎟│    
          ⎠│ξ₁=r⋅sin(θ)⎠│ξ₂=r⋅cos(θ)              ⎜   2                 ⎟│    
                                                  ⎝∂ξ₂                  ⎠│ξ₂=r
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                                              
                                                                              

                                                                              
                   ⎛ ∂                  ⎞│                       ⎛ ∂          
        + r⋅sin(θ)⋅⎜───(f(ξ₁, r⋅cos(θ)))⎟│            + r⋅cos(θ)⋅⎜───(f(r⋅sin(
                   ⎝∂ξ₁                 ⎠│ξ₁=r⋅sin(θ)            ⎝∂ξ₂         
⋅cos(θ)                                                                       
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                  2                           
                                                 r                            

                                ⎛  2                  ⎞│                      
        ⎞│                 2    ⎜ ∂                   ⎟│                      
θ), ξ₂))⎟│            + sin (θ)⋅⎜────(f(ξ₁, r⋅cos(θ)))⎟│            + 2⋅sin(θ)
        ⎠│ξ₂=r⋅cos(θ)           ⎜   2                 ⎟│                      
                                ⎝∂ξ₁                  ⎠│ξ₁=r⋅sin(θ)           
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                                              
                                                                              

        ⎛⎛    2             ⎞│           ⎞│                      ⎛  2         
        ⎜⎜   ∂              ⎟│           ⎟│                 2    ⎜ ∂          
⋅cos(θ)⋅⎜⎜───────(f(ξ₁, ξ₂))⎟│           ⎟│            + cos (θ)⋅⎜────(f(r⋅sin
        ⎝⎝∂ξ₂ ∂ξ₁           ⎠│ξ₁=r⋅sin(θ)⎠│ξ₂=r⋅cos(θ)           ⎜   2        
                                                                 ⎝∂ξ₂         
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                                              
                                                                              

         ⎞│           
         ⎟│           
(θ), ξ₂))⎟│           
         ⎟│           
         ⎠│ξ₂=r⋅cos(θ)
──────────────────────
                      
                      

           ⎛  2                  ⎞│                                 ⎛⎛    2   
 2    2    ⎜ ∂                   ⎟│                 2               ⎜⎜   ∂    
r ⋅sin (θ)⋅⎜────(f(ξ₁, r⋅cos(θ)))⎟│            + 2⋅r ⋅sin(θ)⋅cos(θ)⋅⎜⎜───────(
           ⎜   2                 ⎟│                                 ⎝⎝∂ξ₂ ∂ξ₁ 
           ⎝∂ξ₁                  ⎠│ξ₁=r⋅sin(θ)                                
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                                              
                                                                              

          ⎞│           ⎞│                         ⎛  2                  ⎞│    
          ⎟│           ⎟│               2    2    ⎜ ∂                   ⎟│    
f(ξ₁, ξ₂))⎟│           ⎟│            + r ⋅cos (θ)⋅⎜────(f(r⋅sin(θ), ξ₂))⎟│    
          ⎠│ξ₁=r⋅sin(θ)⎠│ξ₂=r⋅cos(θ)              ⎜   2                 ⎟│    
                                                  ⎝∂ξ₂                  ⎠│ξ₂=r
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                                              
                                                                              

                                                                              
                   ⎛ ∂                  ⎞│                       ⎛ ∂          
        + r⋅sin(θ)⋅⎜───(f(ξ₁, r⋅cos(θ)))⎟│            + r⋅cos(θ)⋅⎜───(f(r⋅sin(
                   ⎝∂ξ₁                 ⎠│ξ₁=r⋅sin(θ)            ⎝∂ξ₂         
⋅cos(θ)                                                                       
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                  2                           
                                                 r                            

                                ⎛  2                  ⎞│                      
        ⎞│                 2    ⎜ ∂                   ⎟│                      
θ), ξ₂))⎟│            + sin (θ)⋅⎜────(f(ξ₁, r⋅cos(θ)))⎟│            + 2⋅sin(θ)
        ⎠│ξ₂=r⋅cos(θ)           ⎜   2                 ⎟│                      
                                ⎝∂ξ₁                  ⎠│ξ₁=r⋅sin(θ)           
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                                              
                                                                              

        ⎛⎛    2             ⎞│           ⎞│                      ⎛  2         
        ⎜⎜   ∂              ⎟│           ⎟│                 2    ⎜ ∂          
⋅cos(θ)⋅⎜⎜───────(f(ξ₁, ξ₂))⎟│           ⎟│            + cos (θ)⋅⎜────(f(r⋅sin
        ⎝⎝∂ξ₂ ∂ξ₁           ⎠│ξ₁=r⋅sin(θ)⎠│ξ₂=r⋅cos(θ)           ⎜   2        
                                                                 ⎝∂ξ₂         
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                                              
                                                                              

         ⎞│           
         ⎟│           
(θ), ξ₂))⎟│           
         ⎟│           
         ⎠│ξ₂=r⋅cos(θ)
──────────────────────
                      
                      

$

0 コメント:

コメントを投稿

関連コンテンツ