数学 - 線型代数 - 行列式 - 積の行列式(同次連立一次方程式が自明でない解をもつための必要十分条件)

線型代数入門

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線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(行列式)、7(積の行列式)、問題6.を取り組んでみる。

6. 
   

   自明でない解をもつと仮定し、その解を

   $x_1=b_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n=b_n$

   とおく。

   また、

   $\max \left\{\left|b_1\right|,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,\left|b_n\right|\right\}=\left|b_k\right|$

   とおく。

   このとき、

   $b_k=-\left(\underset{j=1}{\overset{k-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{kj}{b}_j+\underset{j=|c+1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{kj}{b}_j\right)$

   となる。

   よって、

   $\begin{array}{}\left|b_k\right|\\ =\left|\underset{j=1}{\overset{k-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{kj}{b}_j+\underset{j=k+1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{kj}{b}_j\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{j=1}{\overset{k-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left|a_{kj}\right|\left|b_j\right|+\underset{j=k+1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left|a_{kj}\right|\left|b_j\right|\\ <\underset{j=1}{\overset{k-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{1}{n-1}\left|b_k\right|+\underset{j=k+1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{1}{n-1}\left|b_k\right|\\ =\left(n-1\right)\frac{1}{n-1}\left|b_k\right|\\ =\left|b_k\right|\\ \left|b_k\right|<\left|b_k\right|\end{array}$

   となり矛盾。

   ゆえに、 問題の同次連立1次方程式は自明でない解をもたない。

   以上より、

   $\det A\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$