2018年1月31日水曜日

学習環境

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次偏導関数、テイラーの定理)、問題2-(d).を取り組んでみる。


    1. f x = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 2 x x 2 + y 2 + z 2 = - x x 2 + y 2 + z 2 3 2
      2 f x 2 = - x 2 + y 2 + z 2 3 2 + x · 3 2 x 2 + y 2 + z 2 1 2 · 2 x x 2 + y 2 + z 2 3 = - x 2 - y 2 - z 2 + 3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 = 2 x 2 - y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2
      2 f y 2 = 2 y 2 - z 2 - x 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2
      2 f z 2 = 2 z 2 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

      よって、

      Δ f = 0

      ゆえに、 問題の関数は調和関数である。

      (証明終)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, Derivative

x, y, z, t = symbols('x, y, z, t')
xs = [x, y, z]
f = 1 / sqrt(x ** 2 + y ** 2 + z ** 2)
Ds = [Derivative(f, t, n) for n in range(1, 3)]

for D in Ds:
    for t0 in xs:
        D = D.subs({t: t0})
        for s in [D, D.doit()]:
            pprint(s)
            print()
        print()
    print()

pprint(sum([Ds[1].subs({t: t0}).doit() for t0 in xs]).factor())

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
∂ ⎛        1        ⎞
──⎜─────────────────⎟
∂x⎜   ______________⎟
  ⎜  ╱  2    2    2 ⎟
  ⎝╲╱  x  + y  + z  ⎠

       -x        
─────────────────
              3/2
⎛ 2    2    2⎞   
⎝x  + y  + z ⎠   


∂ ⎛        1        ⎞
──⎜─────────────────⎟
∂x⎜   ______________⎟
  ⎜  ╱  2    2    2 ⎟
  ⎝╲╱  x  + y  + z  ⎠

       -x        
─────────────────
              3/2
⎛ 2    2    2⎞   
⎝x  + y  + z ⎠   


∂ ⎛        1        ⎞
──⎜─────────────────⎟
∂x⎜   ______________⎟
  ⎜  ╱  2    2    2 ⎟
  ⎝╲╱  x  + y  + z  ⎠

       -x        
─────────────────
              3/2
⎛ 2    2    2⎞   
⎝x  + y  + z ⎠   



  2                   
 ∂ ⎛        1        ⎞
───⎜─────────────────⎟
  2⎜   ______________⎟
∂x ⎜  ╱  2    2    2 ⎟
   ⎝╲╱  x  + y  + z  ⎠

        2        
     3⋅x         
 ──────────── - 1
  2    2    2    
 x  + y  + z     
─────────────────
              3/2
⎛ 2    2    2⎞   
⎝x  + y  + z ⎠   


  2                   
 ∂ ⎛        1        ⎞
───⎜─────────────────⎟
  2⎜   ______________⎟
∂x ⎜  ╱  2    2    2 ⎟
   ⎝╲╱  x  + y  + z  ⎠

        2        
     3⋅x         
 ──────────── - 1
  2    2    2    
 x  + y  + z     
─────────────────
              3/2
⎛ 2    2    2⎞   
⎝x  + y  + z ⎠   


  2                   
 ∂ ⎛        1        ⎞
───⎜─────────────────⎟
  2⎜   ______________⎟
∂x ⎜  ╱  2    2    2 ⎟
   ⎝╲╱  x  + y  + z  ⎠

        2        
     3⋅x         
 ──────────── - 1
  2    2    2    
 x  + y  + z     
─────────────────
              3/2
⎛ 2    2    2⎞   
⎝x  + y  + z ⎠   



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