2018年1月26日金曜日

学習環境

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次偏導関数、テイラーの定理)、問題1-(a).を取り組んでみる。


    1. D 1 f x , y = y x 2 - y 2 + x y 2 x x 2 + y 2 - x y x 2 - y 2 2 x x 2 + y 2 2 = y 3 x 2 - y 2 x 2 + y 2 - 2 x 2 y x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 = y 3 x 2 - y 2 x 2 + y 2 - 2 x 2 x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 = y x 4 + 4 x 2 y 2 - y 4 x 2 + y 2 2 = x 4 y + 4 x 2 y 3 - y 5 x 2 + y 2 2
      D 1 f x , y 6 x 2 + y 2 5 2 x 2 + y 2 2 = 6 x 2 + y 2 1 2 lim x , y 0 , 0 D 1 f x , y = 0
      D 2 f x , y = x x 2 - y 2 + x y - 2 y x 2 + y 2 - x y x 2 - y 2 · 2 y x 2 + y 2 2 = x x 2 - y 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 - 2 x 2 y 2 + 2 y 4 x 2 + y 2 2 = x x 2 - 3 y 2 x 2 + y 2 - 2 x 2 y 2 + 2 y 4 x 2 + y 2 2 = x x 4 - 4 x 2 y 2 - y 2 x 2 + y 2 2
      D 2 f x , y 6 x 2 + y 2 5 2 x 2 + y 2 2 = 6 x 2 + y 2 1 2 lim x , y 0 , 0 D 2 f x , y = 0

      よって、 ともに連続である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Limit, Derivative

x, y = symbols('x, y')

f = x * y * (x ** 2 - y ** 2) / (x ** 2 + y ** 2)
Ds = [Derivative(f, t, 1) for t in [x, y]]
f1s = [D.doit() for D in Ds]

for t, s in zip(Ds, f1s):
    for u in [t, s]:
        pprint(u)
        print()
    print()

for f1 in f1s:
    for dir in ['+', '-']:
        lx = Limit(f1, x, 0, dir=dir)
        lxy = Limit(lx, y, 0, dir=dir)
        for t in [lxy, lxy.doit()]:
            pprint(t)
            print()
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
  ⎛    ⎛ 2    2⎞⎞
∂ ⎜x⋅y⋅⎝x  - y ⎠⎟
──⎜─────────────⎟
∂x⎜    2    2   ⎟
  ⎝   x  + y    ⎠

     2   ⎛ 2    2⎞       2       ⎛ 2    2⎞
  2⋅x ⋅y⋅⎝x  - y ⎠    2⋅x ⋅y   y⋅⎝x  - y ⎠
- ──────────────── + ─────── + ───────────
              2       2    2      2    2  
     ⎛ 2    2⎞       x  + y      x  + y   
     ⎝x  + y ⎠                            


  ⎛    ⎛ 2    2⎞⎞
∂ ⎜x⋅y⋅⎝x  - y ⎠⎟
──⎜─────────────⎟
∂y⎜    2    2   ⎟
  ⎝   x  + y    ⎠

       2 ⎛ 2    2⎞         2     ⎛ 2    2⎞
  2⋅x⋅y ⋅⎝x  - y ⎠    2⋅x⋅y    x⋅⎝x  - y ⎠
- ──────────────── - ─────── + ───────────
              2       2    2      2    2  
     ⎛ 2    2⎞       x  + y      x  + y   
     ⎝x  + y ⎠                            


          ⎛     2   ⎛ 2    2⎞       2       ⎛ 2    2⎞⎞
          ⎜  2⋅x ⋅y⋅⎝x  - y ⎠    2⋅x ⋅y   y⋅⎝x  - y ⎠⎟
 lim  lim ⎜- ──────────────── + ─────── + ───────────⎟
y─→0⁺x─→0⁺⎜              2       2    2      2    2  ⎟
          ⎜     ⎛ 2    2⎞       x  + y      x  + y   ⎟
          ⎝     ⎝x  + y ⎠                            ⎠

0


          ⎛     2   ⎛ 2    2⎞       2       ⎛ 2    2⎞⎞
          ⎜  2⋅x ⋅y⋅⎝x  - y ⎠    2⋅x ⋅y   y⋅⎝x  - y ⎠⎟
 lim  lim ⎜- ──────────────── + ─────── + ───────────⎟
y─→0⁻x─→0⁻⎜              2       2    2      2    2  ⎟
          ⎜     ⎛ 2    2⎞       x  + y      x  + y   ⎟
          ⎝     ⎝x  + y ⎠                            ⎠

0



          ⎛       2 ⎛ 2    2⎞         2     ⎛ 2    2⎞⎞
          ⎜  2⋅x⋅y ⋅⎝x  - y ⎠    2⋅x⋅y    x⋅⎝x  - y ⎠⎟
 lim  lim ⎜- ──────────────── - ─────── + ───────────⎟
y─→0⁺x─→0⁺⎜              2       2    2      2    2  ⎟
          ⎜     ⎛ 2    2⎞       x  + y      x  + y   ⎟
          ⎝     ⎝x  + y ⎠                            ⎠

0


          ⎛       2 ⎛ 2    2⎞         2     ⎛ 2    2⎞⎞
          ⎜  2⋅x⋅y ⋅⎝x  - y ⎠    2⋅x⋅y    x⋅⎝x  - y ⎠⎟
 lim  lim ⎜- ──────────────── - ─────── + ───────────⎟
y─→0⁻x─→0⁻⎜              2       2    2      2    2  ⎟
          ⎜     ⎛ 2    2⎞       x  + y      x  + y   ⎟
          ⎝     ⎝x  + y ⎠                            ⎠

0



$

macOS High Sierraの標準搭載されているグラフ作成ソフト、Grapher で作成。

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