数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 高次偏導関数、テイラーの定理(偏微分、連続性、極限、相加平均、相乗平均)

解析入門〈3〉

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  • Pythonからはじめる数学入門
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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次偏導関数、テイラーの定理)、問題1-(a).を取り組んでみる。

1. 1. 
      
      $\begin{array}{}{D}_{1}f\left(x,y\right)\\ =\frac{\left(y\left(x^2-y^2\right)+xy\left(2x\right)\right)\left(x^2+y^2\right)-xy\left(x^2-y^2\right)2x}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\\ =\frac{y\left(3x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)-2x^{2}y\left(x^2-y^2\right)}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\\ =\frac{y\left(\left(3x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)-2x^2\left(x^2-y^2\right)\right)}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\\ =\frac{y\left(x^4+4x^2{y}^2-y^4\right)}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\\ =\frac{x^{4}y+4x^2{y}^3-y^5}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\end{array}$
      $\begin{array}{}\left|D_{1}f\left(x,y\right)\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{6{\left(x^2+y^2\right)}^{\frac{5}{2}}}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\\ =6{\left(x^2+y^2\right)}^{\frac{1}{2}}\\ \underset{\left(x,y\right)\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\left(0,0\right)}{\lim }{D}_{1}f\left(x,y\right)=0\end{array}$
      $\begin{array}{}{D}_{2}f\left(x,y\right)\\ =\frac{\left(x\left(x^2-y^2\right)+xy\left(-2y\right)\right)\left(x^2+y^2\right)-xy\left(x^2-y^2\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->2y}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\\ =\frac{x\left(\left(x^2-y^2-2y^2\right)\left(x^2+y^2\right)-2x^2{y}^2+2y^4\right)}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\\ =\frac{x\left(\left(x^2-3y^2\right)\left(x^2+y^2\right)-2x^2{y}^2+2y^4\right)}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\\ =\frac{x\left(x^4-4x^2{y}^2-y^2\right)}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\end{array}$
      $\begin{array}{}\left|D_{2}f\left(x,y\right)\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{6{\left(x^2+y^2\right)}^{\frac{5}{2}}}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}=6{\left(x^2+y^2\right)}^{\frac{1}{2}}\\ \underset{\left(x,y\right)\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\left(0,0\right)}{\lim }{D}_{2}f\left(x,y\right)=0\end{array}$

      よって、 ともに連続である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Limit, Derivative

x, y = symbols('x, y')

f = x * y * (x ** 2 - y ** 2) / (x ** 2 + y ** 2)
Ds = [Derivative(f, t, 1) for t in [x, y]]
f1s = [D.doit() for D in Ds]

for t, s in zip(Ds, f1s):
    for u in [t, s]:
        pprint(u)
        print()
    print()

for f1 in f1s:
    for dir in ['+', '-']:
        lx = Limit(f1, x, 0, dir=dir)
        lxy = Limit(lx, y, 0, dir=dir)
        for t in [lxy, lxy.doit()]:
            pprint(t)
            print()
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
  ⎛    ⎛ 2    2⎞⎞
∂ ⎜x⋅y⋅⎝x  - y ⎠⎟
──⎜─────────────⎟
∂x⎜    2    2   ⎟
  ⎝   x  + y    ⎠

     2   ⎛ 2    2⎞       2       ⎛ 2    2⎞
  2⋅x ⋅y⋅⎝x  - y ⎠    2⋅x ⋅y   y⋅⎝x  - y ⎠
- ──────────────── + ─────── + ───────────
              2       2    2      2    2  
     ⎛ 2    2⎞       x  + y      x  + y   
     ⎝x  + y ⎠                            


  ⎛    ⎛ 2    2⎞⎞
∂ ⎜x⋅y⋅⎝x  - y ⎠⎟
──⎜─────────────⎟
∂y⎜    2    2   ⎟
  ⎝   x  + y    ⎠

       2 ⎛ 2    2⎞         2     ⎛ 2    2⎞
  2⋅x⋅y ⋅⎝x  - y ⎠    2⋅x⋅y    x⋅⎝x  - y ⎠
- ──────────────── - ─────── + ───────────
              2       2    2      2    2  
     ⎛ 2    2⎞       x  + y      x  + y   
     ⎝x  + y ⎠                            


          ⎛     2   ⎛ 2    2⎞       2       ⎛ 2    2⎞⎞
          ⎜  2⋅x ⋅y⋅⎝x  - y ⎠    2⋅x ⋅y   y⋅⎝x  - y ⎠⎟
 lim  lim ⎜- ──────────────── + ─────── + ───────────⎟
y─→0⁺x─→0⁺⎜              2       2    2      2    2  ⎟
          ⎜     ⎛ 2    2⎞       x  + y      x  + y   ⎟
          ⎝     ⎝x  + y ⎠                            ⎠

0


          ⎛     2   ⎛ 2    2⎞       2       ⎛ 2    2⎞⎞
          ⎜  2⋅x ⋅y⋅⎝x  - y ⎠    2⋅x ⋅y   y⋅⎝x  - y ⎠⎟
 lim  lim ⎜- ──────────────── + ─────── + ───────────⎟
y─→0⁻x─→0⁻⎜              2       2    2      2    2  ⎟
          ⎜     ⎛ 2    2⎞       x  + y      x  + y   ⎟
          ⎝     ⎝x  + y ⎠                            ⎠

0



          ⎛       2 ⎛ 2    2⎞         2     ⎛ 2    2⎞⎞
          ⎜  2⋅x⋅y ⋅⎝x  - y ⎠    2⋅x⋅y    x⋅⎝x  - y ⎠⎟
 lim  lim ⎜- ──────────────── - ─────── + ───────────⎟
y─→0⁺x─→0⁺⎜              2       2    2      2    2  ⎟
          ⎜     ⎛ 2    2⎞       x  + y      x  + y   ⎟
          ⎝     ⎝x  + y ⎠                            ⎠

0


          ⎛       2 ⎛ 2    2⎞         2     ⎛ 2    2⎞⎞
          ⎜  2⋅x⋅y ⋅⎝x  - y ⎠    2⋅x⋅y    x⋅⎝x  - y ⎠⎟
 lim  lim ⎜- ──────────────── - ─────── + ───────────⎟
y─→0⁻x─→0⁻⎜              2       2    2      2    2  ⎟
          ⎜     ⎛ 2    2⎞       x  + y      x  + y   ⎟
          ⎝     ⎝x  + y ⎠                            ⎠

0



$

macOS High Sierraの標準搭載されているグラフ作成ソフト、Grapher で作成。