2018年1月25日木曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(行列式)、6(行列式の計算)、問題11.を取り組んでみる。


    1. det ( 1 0 0 x 1 x 2 - x 1 x 3 - x 1 x 1 2 x 2 2 - x 1 2 x 3 2 - x 1 2 ) = x 2 - x 1 x 3 2 - x 1 2 - x 3 - x 1 x 2 2 - x 1 2 = x 2 - x 1 x 3 - x 1 x 3 + x 1 - x 2 - x 1 = x 2 - x 1 x 3 - x 1 x 3 - x 2

    2. det ( 1 1 1 0 x 2 - x 1 x n - x 1 0 x 2 2 - x 1 x 2 x n 2 - x 1 x n 0 x 2 n - 1 - x 1 x 2 n - 2 x n n - 1 - x 1 x n n - 2 ) = j = 1 n x j - x 1 det ( 1 . . . 1 x 2 n - 2 x n n - 2 ) = i < j x j - x i

      よって、帰納法により、2以上のすべての整数に対して成り立つ。

      (証明終)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, zeros

for n in range(2, 6):
    xs = symbols([f'x{i}' for i in range(1, n + 1)])
    X = Matrix([[xs[j] ** i for j in range(n)]
                for i in range(n)])
    for t in [X, X.det().factor()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample11.py
⎡1   1 ⎤
⎢      ⎥
⎣x₁  x₂⎦

-x₁ + x₂


⎡ 1    1    1 ⎤
⎢             ⎥
⎢x₁   x₂   x₃ ⎥
⎢             ⎥
⎢  2    2    2⎥
⎣x₁   x₂   x₃ ⎦

-(x₁ - x₂)⋅(x₁ - x₃)⋅(x₂ - x₃)


⎡ 1    1    1    1 ⎤
⎢                  ⎥
⎢x₁   x₂   x₃   x₄ ⎥
⎢                  ⎥
⎢  2    2    2    2⎥
⎢x₁   x₂   x₃   x₄ ⎥
⎢                  ⎥
⎢  3    3    3    3⎥
⎣x₁   x₂   x₃   x₄ ⎦

(x₁ - x₂)⋅(x₁ - x₃)⋅(x₁ - x₄)⋅(x₂ - x₃)⋅(x₂ - x₄)⋅(x₃ - x₄)


⎡ 1    1    1    1    1 ⎤
⎢                       ⎥
⎢x₁   x₂   x₃   x₄   x₅ ⎥
⎢                       ⎥
⎢  2    2    2    2    2⎥
⎢x₁   x₂   x₃   x₄   x₅ ⎥
⎢                       ⎥
⎢  3    3    3    3    3⎥
⎢x₁   x₂   x₃   x₄   x₅ ⎥
⎢                       ⎥
⎢  4    4    4    4    4⎥
⎣x₁   x₂   x₃   x₄   x₅ ⎦

(x₁ - x₂)⋅(x₁ - x₃)⋅(x₁ - x₄)⋅(x₁ - x₅)⋅(x₂ - x₃)⋅(x₂ - x₄)⋅(x₂ - x₅)⋅(x₃ - x₄
)⋅(x₃ - x₅)⋅(x₄ - x₅)


$

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