数学 - Python - 線型代数 - 行列式 - 行列式の計算(ヴァンデルモンドの行列式、帰納法)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(行列式)、6(行列式の計算)、問題11.を取り組んでみる。

11. 1. 
       
       $\begin{array}{}\det (\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ x_1& x_2-x_1& x_3-x_1\\ x_1^2& x_2^2-x_1^2& x_3^2-x_1^2\end{array})\end{array}=\left(x_2-x_1\right)\left(x_3^2-x_1^2\right)-\left(x_3-x_1\right)\left(x_2^2-x_1^2\right)\\ =\left(x_2-x_1\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_3+x_1-x_2-x_1\right)\\ =\left(x_2-x_1\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)$
    2. 
       
       $\begin{array}{}\det (\begin{array}{cccc}1& 1& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& 1\\ 0& x_2-x_1& & x_n-x_1\\ 0& x_2^2-x_1{x}_2& & x_n^2-x_1{x}_n\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& & ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ 0& x_2^{n-1}-x_1{x}_2^{n-2}& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& x_n^{n-1}-x_1{x}_n^{n-2}\end{array})\end{array}=\underset{j=1}{\overset{n}{\prod \; <!--\; n-ary\; product\; -->}}\left(x_j-x_1\right)\det (\begin{array}{ccc}1& ...& 1\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& & ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ x_2^{n-2}& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& x_n^{n-2}\end{array})\\ =\underset{i<j}{\prod \; <!--\; n-ary\; product\; -->}\left(x_j-x_i\right)$

       よって、帰納法により、2以上のすべての整数に対して成り立つ。

       （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, zeros

for n in range(2, 6):
    xs = symbols([f'x{i}' for i in range(1, n + 1)])
    X = Matrix([[xs[j] ** i for j in range(n)]
                for i in range(n)])
    for t in [X, X.det().factor()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample11.py
⎡1   1 ⎤
⎢      ⎥
⎣x₁  x₂⎦

-x₁ + x₂


⎡ 1    1    1 ⎤
⎢             ⎥
⎢x₁   x₂   x₃ ⎥
⎢             ⎥
⎢  2    2    2⎥
⎣x₁   x₂   x₃ ⎦

-(x₁ - x₂)⋅(x₁ - x₃)⋅(x₂ - x₃)


⎡ 1    1    1    1 ⎤
⎢                  ⎥
⎢x₁   x₂   x₃   x₄ ⎥
⎢                  ⎥
⎢  2    2    2    2⎥
⎢x₁   x₂   x₃   x₄ ⎥
⎢                  ⎥
⎢  3    3    3    3⎥
⎣x₁   x₂   x₃   x₄ ⎦

(x₁ - x₂)⋅(x₁ - x₃)⋅(x₁ - x₄)⋅(x₂ - x₃)⋅(x₂ - x₄)⋅(x₃ - x₄)


⎡ 1    1    1    1    1 ⎤
⎢                       ⎥
⎢x₁   x₂   x₃   x₄   x₅ ⎥
⎢                       ⎥
⎢  2    2    2    2    2⎥
⎢x₁   x₂   x₃   x₄   x₅ ⎥
⎢                       ⎥
⎢  3    3    3    3    3⎥
⎢x₁   x₂   x₃   x₄   x₅ ⎥
⎢                       ⎥
⎢  4    4    4    4    4⎥
⎣x₁   x₂   x₃   x₄   x₅ ⎦

(x₁ - x₂)⋅(x₁ - x₃)⋅(x₁ - x₄)⋅(x₁ - x₅)⋅(x₂ - x₃)⋅(x₂ - x₄)⋅(x₂ - x₅)⋅(x₃ - x₄
)⋅(x₃ - x₅)⋅(x₄ - x₅)


$