数学 - Python - 線型代数 - 行列式 - 行列式の計算(数学的帰納法、等式、多項式)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(行列式)、6(行列式の計算)、問題10.を取り組んでみる。

10. 1. 
       
       $\begin{array}{}x\left(a_1+a_{2}x+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n{x}^{n-1}\right)+a_0\\ =a_0+a_{1}x+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n{x}^n\end{array}$

       よって、帰納法よりすべての正の整数に対して成り立つ。

       （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, zeros

x = symbols('x')
for n in range(0, 6):
    def f(i, j):
        if i == n:
            return symbols(f'a{j}')
        if i == j:
            return x
        if j == i + 1:
            return -1
        return 0

    A = Matrix([[f(i, j) for j in range(n + 1)]
                for i in range(n + 1)])
    for t in [A, A.det()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample10.py
[a₀]

a₀


⎡x   -1⎤
⎢      ⎥
⎣a₀  a₁⎦

a₀ + a₁⋅x


⎡x   -1  0 ⎤
⎢          ⎥
⎢0   x   -1⎥
⎢          ⎥
⎣a₀  a₁  a₂⎦

                2
a₀ + a₁⋅x + a₂⋅x 


⎡x   -1  0   0 ⎤
⎢              ⎥
⎢0   x   -1  0 ⎥
⎢              ⎥
⎢0   0   x   -1⎥
⎢              ⎥
⎣a₀  a₁  a₂  a₃⎦

                2       3
a₀ + a₁⋅x + a₂⋅x  + a₃⋅x 


⎡x   -1  0   0   0 ⎤
⎢                  ⎥
⎢0   x   -1  0   0 ⎥
⎢                  ⎥
⎢0   0   x   -1  0 ⎥
⎢                  ⎥
⎢0   0   0   x   -1⎥
⎢                  ⎥
⎣a₀  a₁  a₂  a₃  a₄⎦

                2       3       4
a₀ + a₁⋅x + a₂⋅x  + a₃⋅x  + a₄⋅x 


⎡x   -1  0   0   0   0 ⎤
⎢                      ⎥
⎢0   x   -1  0   0   0 ⎥
⎢                      ⎥
⎢0   0   x   -1  0   0 ⎥
⎢                      ⎥
⎢0   0   0   x   -1  0 ⎥
⎢                      ⎥
⎢0   0   0   0   x   -1⎥
⎢                      ⎥
⎣a₀  a₁  a₂  a₃  a₄  a₅⎦

                2       3       4       5
a₀ + a₁⋅x + a₂⋅x  + a₃⋅x  + a₄⋅x  + a₅⋅x 


$