数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 微分可能性と勾配ベクトル(偏微分、有界、連続性、単位ベクトル)

解析入門〈3〉

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  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.1(微分可能性と勾配ベクトル)、問題12.を取り組んでみる。

12. 1. 
       
       $\begin{array}{}{D}_{1}f\left(0,0\right)=1\\ \left(x,y\right)\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\\ D_{2}f\left(x,y\right)\\ =\frac{3x^2\left(x^2+y^2\right)-x^3·\; <!--\; middle\; dot\; -->2x}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\\ =\frac{x^4+3x^2{y}^2}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{2x^4+4x^2{y}^2+2y^2}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\\ =\frac{2{\left(x^2+y^2\right)}^2}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\\ =2\\ \left|D_{1}f\left(x,y\right)\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->2\end{array}$
       $\begin{array}{}{D}_{2}f\left(0,0\right)=0\\ \left(x,y\right)\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\\ D_{2}f\left(x,y\right)\\ =\frac{-x^3·\; <!--\; middle\; dot\; -->2y}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\\ \left|D_{2}f\left(x,y\right)\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->2\end{array}$
    2. 
       
       $\begin{array}{}u=\left(u_1,u_2\right)\\ \underset{h\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{f\left(h{u}_1,h{u}_2\right)-f\left(0,0\right)}{h}\\ =\underset{h\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{\frac{{\left(h{u}_1\right)}^3}{{\left(h{u}_1\right)}^2+{\left(h{u}_2\right)}^2}}{h}\\ =\underset{h\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{h{u}_1^3}{\left(u_1^2+u_2^2\right)h}\\ =\underset{h\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{u_1^3}{{\left|u\right|}^2}\\ =u_1^3\\ D_{u}f\left(0,0\right)=u_1^3\\ \max \left|D_{u}f\left(0,0\right)\right|=1\end{array}$
    3. 
       

       （0，0） において微分可能であると仮定する。

       $D_{n}f\left(0,0\right)=grad\left(f\left(0,0\right)\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->u=\left(1,0\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(u_1,u_2\right)=u_1\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->u_1^3\left(u_1\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->1,0\right)$

       よって矛盾。

       ゆえに、原点において f は微分可能ではない。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, Derivative

x, y = symbols('x, y')
xs = [x, y]
f = x ** 3 / (x ** 2 + y ** 2)
gradf = Matrix([Derivative(f, xi, 1).doit() for xi in xs])

for t in [f, gradf]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample12.py
    3  
   x   
───────
 2    2
x  + y 

⎡        4           2 ⎤
⎢     2⋅x         3⋅x  ⎥
⎢- ────────── + ───────⎥
⎢           2    2    2⎥
⎢  ⎛ 2    2⎞    x  + y ⎥
⎢  ⎝x  + y ⎠           ⎥
⎢                      ⎥
⎢           3          ⎥
⎢       -2⋅x ⋅y        ⎥
⎢      ──────────      ⎥
⎢               2      ⎥
⎢      ⎛ 2    2⎞       ⎥
⎣      ⎝x  + y ⎠       ⎦

$

macOS High Sierraの標準搭載されているグラフ作成ソフト、Grapher で作成。