2018年1月29日月曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(行列式)、7(積の行列式)、問題2.を取り組んでみる。


  1. det ( B C O D ) = det ( I m C O D ) ( B O O I n ) = det ( I m C O D ) det ( B O O I n ) = det D · det B = det B · det D

    また、

    det ( B O C D ) = det ( B O C I n ) ( I m O O D ) = det ( B O C I n ) · det ( I m O O D ) = det B · det D

    (証明終)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

for m in range(1, 4):
    B = Matrix([[symbols(f'b{i + 1}{j + 1}') for j in range(m)]
                for i in range(m)])
    DB = B.det()

    def f(i, j):
        if i < m and j < m:
            return symbols(f'b{i + 1}{j + 1}')
        if i < m:
            return symbols(f'c{i + 1}{j + 1 - m}')
        if j < m:
            return 0
        return symbols(f'd{i + 1 - m}{j + 1 - m}')

    def g(i, j):
        if i < m and j < m:
            return symbols(f'b{i + 1}{j + 1}')
        if i < m:
            return 0
        if j < m:
            return symbols(f'c{i + 1 - m}{j + 1}')
        return symbols(f'd{i + 1 - m}{j + 1 - m}')

    for n in range(1, 4):
        for h in [f, g]:
            D = Matrix([[symbols(f'd{i + 1}{j + 1}') for j in range(n)]
                        for i in range(n)])
            A = Matrix([[h(i, j) for j in range(m + n)]
                        for i in range(m + n)])
            DA = A.det()
            DD = D.det()
            DBD = DB * DD
            for t in [A, B, D, DA, DB, DD, DBD, DA == DBD.expand()]:
                pprint(t)
                print()
            print()
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
⎡b₁₁  c₁₁⎤
⎢        ⎥
⎣ 0   d₁₁⎦

[b₁₁]

[d₁₁]

b₁₁⋅d₁₁

b₁₁

d₁₁

b₁₁⋅d₁₁

True


⎡b₁₁   0 ⎤
⎢        ⎥
⎣c₁₁  d₁₁⎦

[b₁₁]

[d₁₁]

b₁₁⋅d₁₁

b₁₁

d₁₁

b₁₁⋅d₁₁

True



⎡b₁₁  c₁₁  c₁₂⎤
⎢             ⎥
⎢ 0   d₁₁  d₁₂⎥
⎢             ⎥
⎣ 0   d₂₁  d₂₂⎦

[b₁₁]

⎡d₁₁  d₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣d₂₁  d₂₂⎦

b₁₁⋅d₁₁⋅d₂₂ - b₁₁⋅d₁₂⋅d₂₁

b₁₁

d₁₁⋅d₂₂ - d₁₂⋅d₂₁

b₁₁⋅(d₁₁⋅d₂₂ - d₁₂⋅d₂₁)

True


⎡b₁₁   0    0 ⎤
⎢             ⎥
⎢c₁₁  d₁₁  d₁₂⎥
⎢             ⎥
⎣c₂₁  d₂₁  d₂₂⎦

[b₁₁]

⎡d₁₁  d₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣d₂₁  d₂₂⎦

b₁₁⋅d₁₁⋅d₂₂ - b₁₁⋅d₁₂⋅d₂₁

b₁₁

d₁₁⋅d₂₂ - d₁₂⋅d₂₁

b₁₁⋅(d₁₁⋅d₂₂ - d₁₂⋅d₂₁)

True



⎡b₁₁  c₁₁  c₁₂  c₁₃⎤
⎢                  ⎥
⎢ 0   d₁₁  d₁₂  d₁₃⎥
⎢                  ⎥
⎢ 0   d₂₁  d₂₂  d₂₃⎥
⎢                  ⎥
⎣ 0   d₃₁  d₃₂  d₃₃⎦

[b₁₁]

⎡d₁₁  d₁₂  d₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢d₂₁  d₂₂  d₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣d₃₁  d₃₂  d₃₃⎦

b₁₁⋅d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - b₁₁⋅d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - b₁₁⋅d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + b₁₁⋅d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + b₁₁⋅d₁
₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - b₁₁⋅d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁

b₁₁

d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - d₁₃⋅d₂₂⋅
d₃₁

b₁₁⋅(d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - d₁₃
⋅d₂₂⋅d₃₁)

True


⎡b₁₁   0    0    0 ⎤
⎢                  ⎥
⎢c₁₁  d₁₁  d₁₂  d₁₃⎥
⎢                  ⎥
⎢c₂₁  d₂₁  d₂₂  d₂₃⎥
⎢                  ⎥
⎣c₃₁  d₃₁  d₃₂  d₃₃⎦

[b₁₁]

⎡d₁₁  d₁₂  d₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢d₂₁  d₂₂  d₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣d₃₁  d₃₂  d₃₃⎦

b₁₁⋅d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - b₁₁⋅d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - b₁₁⋅d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + b₁₁⋅d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + b₁₁⋅d₁
₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - b₁₁⋅d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁

b₁₁

d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - d₁₃⋅d₂₂⋅
d₃₁

b₁₁⋅(d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - d₁₃
⋅d₂₂⋅d₃₁)

True




⎡b₁₁  b₁₂  c₁₁⎤
⎢             ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  c₂₁⎥
⎢             ⎥
⎣ 0    0   d₁₁⎦

⎡b₁₁  b₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣b₂₁  b₂₂⎦

[d₁₁]

b₁₁⋅b₂₂⋅d₁₁ - b₁₂⋅b₂₁⋅d₁₁

b₁₁⋅b₂₂ - b₁₂⋅b₂₁

d₁₁

d₁₁⋅(b₁₁⋅b₂₂ - b₁₂⋅b₂₁)

True


⎡b₁₁  b₁₂   0 ⎤
⎢             ⎥
⎢b₂₁  b₂₂   0 ⎥
⎢             ⎥
⎣c₁₁  c₁₂  d₁₁⎦

⎡b₁₁  b₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣b₂₁  b₂₂⎦

[d₁₁]

b₁₁⋅b₂₂⋅d₁₁ - b₁₂⋅b₂₁⋅d₁₁

b₁₁⋅b₂₂ - b₁₂⋅b₂₁

d₁₁

d₁₁⋅(b₁₁⋅b₂₂ - b₁₂⋅b₂₁)

True



⎡b₁₁  b₁₂  c₁₁  c₁₂⎤
⎢                  ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  c₂₁  c₂₂⎥
⎢                  ⎥
⎢ 0    0   d₁₁  d₁₂⎥
⎢                  ⎥
⎣ 0    0   d₂₁  d₂₂⎦

⎡b₁₁  b₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣b₂₁  b₂₂⎦

⎡d₁₁  d₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣d₂₁  d₂₂⎦

b₁₁⋅b₂₂⋅d₁₁⋅d₂₂ - b₁₁⋅b₂₂⋅d₁₂⋅d₂₁ - b₁₂⋅b₂₁⋅d₁₁⋅d₂₂ + b₁₂⋅b₂₁⋅d₁₂⋅d₂₁

b₁₁⋅b₂₂ - b₁₂⋅b₂₁

d₁₁⋅d₂₂ - d₁₂⋅d₂₁

(b₁₁⋅b₂₂ - b₁₂⋅b₂₁)⋅(d₁₁⋅d₂₂ - d₁₂⋅d₂₁)

True


⎡b₁₁  b₁₂   0    0 ⎤
⎢                  ⎥
⎢b₂₁  b₂₂   0    0 ⎥
⎢                  ⎥
⎢c₁₁  c₁₂  d₁₁  d₁₂⎥
⎢                  ⎥
⎣c₂₁  c₂₂  d₂₁  d₂₂⎦

⎡b₁₁  b₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣b₂₁  b₂₂⎦

⎡d₁₁  d₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣d₂₁  d₂₂⎦

b₁₁⋅b₂₂⋅d₁₁⋅d₂₂ - b₁₁⋅b₂₂⋅d₁₂⋅d₂₁ - b₁₂⋅b₂₁⋅d₁₁⋅d₂₂ + b₁₂⋅b₂₁⋅d₁₂⋅d₂₁

b₁₁⋅b₂₂ - b₁₂⋅b₂₁

d₁₁⋅d₂₂ - d₁₂⋅d₂₁

(b₁₁⋅b₂₂ - b₁₂⋅b₂₁)⋅(d₁₁⋅d₂₂ - d₁₂⋅d₂₁)

True



⎡b₁₁  b₁₂  c₁₁  c₁₂  c₁₃⎤
⎢                       ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  c₂₁  c₂₂  c₂₃⎥
⎢                       ⎥
⎢ 0    0   d₁₁  d₁₂  d₁₃⎥
⎢                       ⎥
⎢ 0    0   d₂₁  d₂₂  d₂₃⎥
⎢                       ⎥
⎣ 0    0   d₃₁  d₃₂  d₃₃⎦

⎡b₁₁  b₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣b₂₁  b₂₂⎦

⎡d₁₁  d₁₂  d₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢d₂₁  d₂₂  d₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣d₃₁  d₃₂  d₃₃⎦

b₁₁⋅b₂₂⋅d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - b₁₁⋅b₂₂⋅d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - b₁₁⋅b₂₂⋅d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + b₁₁⋅b₂₂⋅d₁₂⋅
d₂₃⋅d₃₁ + b₁₁⋅b₂₂⋅d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - b₁₁⋅b₂₂⋅d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁ - b₁₂⋅b₂₁⋅d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ + b₁
₂⋅b₂₁⋅d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ + b₁₂⋅b₂₁⋅d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ - b₁₂⋅b₂₁⋅d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ - b₁₂⋅b₂₁⋅d₁₃⋅d₂
₁⋅d₃₂ + b₁₂⋅b₂₁⋅d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁

b₁₁⋅b₂₂ - b₁₂⋅b₂₁

d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - d₁₃⋅d₂₂⋅
d₃₁

(b₁₁⋅b₂₂ - b₁₂⋅b₂₁)⋅(d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + d
₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁)

True


⎡b₁₁  b₁₂   0    0    0 ⎤
⎢                       ⎥
⎢b₂₁  b₂₂   0    0    0 ⎥
⎢                       ⎥
⎢c₁₁  c₁₂  d₁₁  d₁₂  d₁₃⎥
⎢                       ⎥
⎢c₂₁  c₂₂  d₂₁  d₂₂  d₂₃⎥
⎢                       ⎥
⎣c₃₁  c₃₂  d₃₁  d₃₂  d₃₃⎦

⎡b₁₁  b₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣b₂₁  b₂₂⎦

⎡d₁₁  d₁₂  d₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢d₂₁  d₂₂  d₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣d₃₁  d₃₂  d₃₃⎦

b₁₁⋅b₂₂⋅d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - b₁₁⋅b₂₂⋅d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - b₁₁⋅b₂₂⋅d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + b₁₁⋅b₂₂⋅d₁₂⋅
d₂₃⋅d₃₁ + b₁₁⋅b₂₂⋅d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - b₁₁⋅b₂₂⋅d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁ - b₁₂⋅b₂₁⋅d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ + b₁
₂⋅b₂₁⋅d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ + b₁₂⋅b₂₁⋅d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ - b₁₂⋅b₂₁⋅d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ - b₁₂⋅b₂₁⋅d₁₃⋅d₂
₁⋅d₃₂ + b₁₂⋅b₂₁⋅d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁

b₁₁⋅b₂₂ - b₁₂⋅b₂₁

d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - d₁₃⋅d₂₂⋅
d₃₁

(b₁₁⋅b₂₂ - b₁₂⋅b₂₁)⋅(d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + d
₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁)

True




⎡b₁₁  b₁₂  b₁₃  c₁₁⎤
⎢                  ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  b₂₃  c₂₁⎥
⎢                  ⎥
⎢b₃₁  b₃₂  b₃₃  c₃₁⎥
⎢                  ⎥
⎣ 0    0    0   d₁₁⎦

⎡b₁₁  b₁₂  b₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  b₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣b₃₁  b₃₂  b₃₃⎦

[d₁₁]

b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃⋅d₁₁ - b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂⋅d₁₁ - b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃⋅d₁₁ + b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁⋅d₁₁ + b₁₃⋅b₂
₁⋅b₃₂⋅d₁₁ - b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁⋅d₁₁

b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃ - b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂ - b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃ + b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁ + b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂ - b₁₃⋅b₂₂⋅
b₃₁

d₁₁

d₁₁⋅(b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃ - b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂ - b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃ + b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁ + b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂ - b₁₃
⋅b₂₂⋅b₃₁)

True


⎡b₁₁  b₁₂  b₁₃   0 ⎤
⎢                  ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  b₂₃   0 ⎥
⎢                  ⎥
⎢b₃₁  b₃₂  b₃₃   0 ⎥
⎢                  ⎥
⎣c₁₁  c₁₂  c₁₃  d₁₁⎦

⎡b₁₁  b₁₂  b₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  b₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣b₃₁  b₃₂  b₃₃⎦

[d₁₁]

b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃⋅d₁₁ - b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂⋅d₁₁ - b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃⋅d₁₁ + b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁⋅d₁₁ + b₁₃⋅b₂
₁⋅b₃₂⋅d₁₁ - b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁⋅d₁₁

b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃ - b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂ - b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃ + b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁ + b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂ - b₁₃⋅b₂₂⋅
b₃₁

d₁₁

d₁₁⋅(b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃ - b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂ - b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃ + b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁ + b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂ - b₁₃
⋅b₂₂⋅b₃₁)

True



⎡b₁₁  b₁₂  b₁₃  c₁₁  c₁₂⎤
⎢                       ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  b₂₃  c₂₁  c₂₂⎥
⎢                       ⎥
⎢b₃₁  b₃₂  b₃₃  c₃₁  c₃₂⎥
⎢                       ⎥
⎢ 0    0    0   d₁₁  d₁₂⎥
⎢                       ⎥
⎣ 0    0    0   d₂₁  d₂₂⎦

⎡b₁₁  b₁₂  b₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  b₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣b₃₁  b₃₂  b₃₃⎦

⎡d₁₁  d₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣d₂₁  d₂₂⎦

b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃⋅d₁₁⋅d₂₂ - b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃⋅d₁₂⋅d₂₁ - b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂⋅d₁₁⋅d₂₂ + b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂⋅
d₁₂⋅d₂₁ - b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃⋅d₁₁⋅d₂₂ + b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃⋅d₁₂⋅d₂₁ + b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁⋅d₁₁⋅d₂₂ - b₁
₂⋅b₂₃⋅b₃₁⋅d₁₂⋅d₂₁ + b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂⋅d₁₁⋅d₂₂ - b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂⋅d₁₂⋅d₂₁ - b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁⋅d₁
₁⋅d₂₂ + b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁⋅d₁₂⋅d₂₁

b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃ - b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂ - b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃ + b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁ + b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂ - b₁₃⋅b₂₂⋅
b₃₁

d₁₁⋅d₂₂ - d₁₂⋅d₂₁

(d₁₁⋅d₂₂ - d₁₂⋅d₂₁)⋅(b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃ - b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂ - b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃ + b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁ + b
₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂ - b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁)

True


⎡b₁₁  b₁₂  b₁₃   0    0 ⎤
⎢                       ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  b₂₃   0    0 ⎥
⎢                       ⎥
⎢b₃₁  b₃₂  b₃₃   0    0 ⎥
⎢                       ⎥
⎢c₁₁  c₁₂  c₁₃  d₁₁  d₁₂⎥
⎢                       ⎥
⎣c₂₁  c₂₂  c₂₃  d₂₁  d₂₂⎦

⎡b₁₁  b₁₂  b₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  b₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣b₃₁  b₃₂  b₃₃⎦

⎡d₁₁  d₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣d₂₁  d₂₂⎦

b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃⋅d₁₁⋅d₂₂ - b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃⋅d₁₂⋅d₂₁ - b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂⋅d₁₁⋅d₂₂ + b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂⋅
d₁₂⋅d₂₁ - b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃⋅d₁₁⋅d₂₂ + b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃⋅d₁₂⋅d₂₁ + b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁⋅d₁₁⋅d₂₂ - b₁
₂⋅b₂₃⋅b₃₁⋅d₁₂⋅d₂₁ + b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂⋅d₁₁⋅d₂₂ - b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂⋅d₁₂⋅d₂₁ - b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁⋅d₁
₁⋅d₂₂ + b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁⋅d₁₂⋅d₂₁

b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃ - b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂ - b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃ + b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁ + b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂ - b₁₃⋅b₂₂⋅
b₃₁

d₁₁⋅d₂₂ - d₁₂⋅d₂₁

(d₁₁⋅d₂₂ - d₁₂⋅d₂₁)⋅(b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃ - b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂ - b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃ + b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁ + b
₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂ - b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁)

True



⎡b₁₁  b₁₂  b₁₃  c₁₁  c₁₂  c₁₃⎤
⎢                            ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  b₂₃  c₂₁  c₂₂  c₂₃⎥
⎢                            ⎥
⎢b₃₁  b₃₂  b₃₃  c₃₁  c₃₂  c₃₃⎥
⎢                            ⎥
⎢ 0    0    0   d₁₁  d₁₂  d₁₃⎥
⎢                            ⎥
⎢ 0    0    0   d₂₁  d₂₂  d₂₃⎥
⎢                            ⎥
⎣ 0    0    0   d₃₁  d₃₂  d₃₃⎦

⎡b₁₁  b₁₂  b₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  b₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣b₃₁  b₃₂  b₃₃⎦

⎡d₁₁  d₁₂  d₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢d₂₁  d₂₂  d₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣d₃₁  d₃₂  d₃₃⎦

b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃⋅d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃⋅d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃⋅d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + 
b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃⋅d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃⋅d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃⋅d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁ - 
b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂⋅d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ + b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂⋅d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ + b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂⋅d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ - 
b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂⋅d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ - b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂⋅d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ + b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂⋅d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁ - 
b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃⋅d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ + b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃⋅d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ + b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃⋅d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ - 
b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃⋅d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ - b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃⋅d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ + b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃⋅d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁ + 
b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁⋅d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁⋅d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁⋅d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + 
b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁⋅d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁⋅d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁⋅d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁ + 
b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂⋅d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂⋅d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂⋅d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + 
b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂⋅d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂⋅d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂⋅d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁ - 
b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁⋅d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ + b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁⋅d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ + b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁⋅d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ - 
b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁⋅d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ - b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁⋅d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ + b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁⋅d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁

b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃ - b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂ - b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃ + b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁ + b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂ - b₁₃⋅b₂₂⋅
b₃₁

d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - d₁₃⋅d₂₂⋅
d₃₁

(b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃ - b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂ - b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃ + b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁ + b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂ - b₁₃⋅b₂₂
⋅b₃₁)⋅(d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - d
₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁)

True


⎡b₁₁  b₁₂  b₁₃   0    0    0 ⎤
⎢                            ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  b₂₃   0    0    0 ⎥
⎢                            ⎥
⎢b₃₁  b₃₂  b₃₃   0    0    0 ⎥
⎢                            ⎥
⎢c₁₁  c₁₂  c₁₃  d₁₁  d₁₂  d₁₃⎥
⎢                            ⎥
⎢c₂₁  c₂₂  c₂₃  d₂₁  d₂₂  d₂₃⎥
⎢                            ⎥
⎣c₃₁  c₃₂  c₃₃  d₃₁  d₃₂  d₃₃⎦

⎡b₁₁  b₁₂  b₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  b₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣b₃₁  b₃₂  b₃₃⎦

⎡d₁₁  d₁₂  d₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢d₂₁  d₂₂  d₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣d₃₁  d₃₂  d₃₃⎦

b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃⋅d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃⋅d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃⋅d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + 
b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃⋅d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃⋅d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃⋅d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁ - 
b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂⋅d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ + b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂⋅d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ + b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂⋅d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ - 
b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂⋅d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ - b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂⋅d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ + b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂⋅d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁ - 
b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃⋅d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ + b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃⋅d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ + b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃⋅d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ - 
b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃⋅d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ - b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃⋅d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ + b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃⋅d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁ + 
b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁⋅d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁⋅d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁⋅d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + 
b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁⋅d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁⋅d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁⋅d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁ + 
b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂⋅d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂⋅d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂⋅d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + 
b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂⋅d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂⋅d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂⋅d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁ - 
b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁⋅d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ + b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁⋅d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ + b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁⋅d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ - 
b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁⋅d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ - b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁⋅d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ + b₁₃⋅b₂₂⋅b₃₁⋅d₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁

b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃ - b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂ - b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃ + b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁ + b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂ - b₁₃⋅b₂₂⋅
b₃₁

d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - d₁₃⋅d₂₂⋅
d₃₁

(b₁₁⋅b₂₂⋅b₃₃ - b₁₁⋅b₂₃⋅b₃₂ - b₁₂⋅b₂₁⋅b₃₃ + b₁₂⋅b₂₃⋅b₃₁ + b₁₃⋅b₂₁⋅b₃₂ - b₁₃⋅b₂₂
⋅b₃₁)⋅(d₁₁⋅d₂₂⋅d₃₃ - d₁₁⋅d₂₃⋅d₃₂ - d₁₂⋅d₂₁⋅d₃₃ + d₁₂⋅d₂₃⋅d₃₁ + d₁₃⋅d₂₁⋅d₃₂ - d
₁₃⋅d₂₂⋅d₃₁)

True




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