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二次方程式の解の公式、最近は理系の大学生でも証明できない人が多いと聞いた。
— 加藤公一 （はむかず） (@hamukazu) 2018年1月14日
もしかしたら、微分、導関数とニュートン商と似たような理由かも？
とりあえず、自分自身がどうか、二次方程式の解の公式を求めて(証明して)みた。
なるべく途中計算を省略せずに細かく。
SymPy(Python)で確認。
コード(Emacs)
Python 3
#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve
x, a, b, c = symbols('x, a, b, c')
eq = a * x ** 2 + b * x + c
for t in [eq, solve(eq, x)]:
pprint(t)
print()
入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))
$ ./sample.py 2 a⋅x + b⋅x + c ⎡ _____________ ⎛ _____________⎞ ⎤ ⎢ ╱ 2 ⎜ ╱ 2 ⎟ ⎥ ⎢-b + ╲╱ -4⋅a⋅c + b -⎝b + ╲╱ -4⋅a⋅c + b ⎠ ⎥ ⎢─────────────────────, ────────────────────────⎥ ⎣ 2⋅a 2⋅a ⎦ $
HTML5
<div id="graph0"></div> <pre id="output0"></pre> <label for="r0">r = </label> <input id="r0" type="number" min="0" value="0.5"> <label for="dx">dx = </label> <input id="dx" type="number" min="0" step="0.001" value="0.005"> <br> <label for="x1">x1 = </label> <input id="x1" type="number" value="-10"> <label for="x2">x2 = </label> <input id="x2" type="number" value="10"> <br> <label for="y1">y1 = </label> <input id="y1" type="number" value="-10"> <label for="y2">y2 = </label> <input id="y2" type="number" value="10"> <br> <input id="a0" type="number" value="1">x^2 + <input id="b0" type="number" value="4">x + <input id="c0" type="number" value="2"> = 0 <button id="draw0">draw</button> <button id="clear0">clear</button> <script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script> <script src="sample.js"></script>
D3.js(JavaScript)でグラフを描いて確認。
JavaScript
let div0 = document.querySelector('#graph0'),
pre0 = document.querySelector('#output0'),
width = 600,
height = 600,
padding = 50,
btn0 = document.querySelector('#draw0'),
btn1 = document.querySelector('#clear0'),
input_r = document.querySelector('#r0'),
input_dx = document.querySelector('#dx'),
input_x1 = document.querySelector('#x1'),
input_x2 = document.querySelector('#x2'),
input_y1 = document.querySelector('#y1'),
input_y2 = document.querySelector('#y2'),
input_a0 = document.querySelector('#a0'),
input_b0 = document.querySelector('#b0'),
input_c0 = document.querySelector('#c0'),
inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
input_a0, input_b0, input_c0],
p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
range = (start, end, step=1) => {
let res = [];
for (let i = start; i < end; i += step) {
res.push(i);
}
return res;
};
let draw = () => {
pre0.textContent = '';
let r = parseFloat(input_r.value),
dx = parseFloat(input_dx.value),
x1 = parseFloat(input_x1.value),
x2 = parseFloat(input_x2.value),
y1 = parseFloat(input_y1.value),
y2 = parseFloat(input_y2.value),
a0 = parseFloat(input_a0.value),
b0 = parseFloat(input_b0.value),
c0 = parseFloat(input_c0.value);
if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
return;
}
let points = [],
f = (x) => a0 * x ** 2 + b0 * x + c0,
lines = [[(-b0 - Math.sqrt(b0 ** 2 - 4 * a0 * c0)) / (2 * a0),
y1,
(-b0 - Math.sqrt(b0 ** 2 - 4 * a0 * c0)) / (2 * a0),
y2,
'red'],
[(-b0 + Math.sqrt(b0 ** 2 - 4 * a0 * c0)) / (2 * a0),
y1,
(-b0 + Math.sqrt(b0 ** 2 - 4 * a0 * c0)) / (2 * a0),
y2,
'blue']],
fns = [[f, 'green']];
fns
.forEach((o) => {
let [f, color] = o;
for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
let y = f(x);
points.push([x, y, color]);
}
});
let xscale = d3.scaleLinear()
.domain([x1, x2])
.range([padding, width - padding]);
let yscale = d3.scaleLinear()
.domain([y1, y2])
.range([height - padding, padding]);
let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
div0.innerHTML = '';
let svg = d3.select('#graph0')
.append('svg')
.attr('width', width)
.attr('height', height);
svg.selectAll('line')
.data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
.enter()
.append('line')
.attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
.attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
.attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
.attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
.attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');
svg.selectAll('circle')
.data(points)
.enter()
.append('circle')
.attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
.attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
.attr('r', r)
.attr('fill', (d) => d[2] || 'green');
svg.append('g')
.attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
.call(xaxis);
svg.append('g')
.attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
.call(yaxis);
p((-b0 - Math.sqrt(b0 ** 2 - 4 * a0 * c0)) / (2 * a0));
p((-b0 + Math.sqrt(b0 ** 2 - 4 * a0 * c0)) / (2 * a0));
};
inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();
x^2 + x + = 0
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