数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 微分可能性と勾配ベクトル(方向微分係数、向きベクトル、単位ベクトル、グラディエント(gradient)、内積(ドット積、スカラー積))

解析入門〈3〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
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• iPad Pro + Apple Pencil
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.1(微分可能性と勾配ベクトル)、問題11.を取り組んでみる。

11. 1. 
       
       $\begin{array}{}grad\left(f\left(x,y\right)\right)=\left(2xy,x^2\right)\\ grad\left(f\left(2,-1\right)\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\left(1,1\right)}{\sqrt{1+1}}\\ =\left(-4,4\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{\sqrt{2}}\\ =\frac{-4+4}{\sqrt{2}}\\ =0\end{array}$
    2. 
       
       $\begin{array}{}\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->f}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x}\\ =\frac{\frac{1}{2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)}^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->2x\\ =\frac{x}{x^2+y^2+z^2}\end{array}$
       $\begin{array}{}grad\left(f\left(x,y,z\right)\right)\\ =\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\left(x,y,z\right)\end{array}$
       $\begin{array}{}\frac{1}{1+1+4}\left(-1,1,2\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,2,2\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{\sqrt{1+4+4}}\\ =\frac{1}{6}\left(-1+2+4\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{3}\\ =\frac{5}{18}\end{array}$
    3. 
       
       $\begin{array}{}\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->f}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x}\\ =2\left(x+y\right)+2\left(z+x\right)\\ =2\left(2x+y+z\right)\\ grad\left(f\left(x,y,z\right)\right)\\ =2\left(2x+y+z,x+2y+z,x+y+2z\right)\end{array}$
       $\begin{array}{}grad\left(f\left(2,2,-1\right)\right)=2\left(5,5,2\right)\\ 2\left(5,5,2\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(5,5,2\right)\frac{1}{\left|\left(5,5,2\right)\right|}\\ =2\sqrt{25+25+4}\\ =2\sqrt{54}\\ =6\sqrt{6}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, log, sqrt, Matrix, Derivative

x, y, z = symbols('x, y, z')
xs = [x, y, z]
f = x ** 2 * y
g = log(sqrt(x ** 2 + y ** 2 + z ** 2))
h = (x + y) ** 2 + (y + z) ** 2 + (z + x) ** 2

fs = [(f, 2), (g, 3), (h, 3)]
gradfs = [Matrix([Derivative(f0, xi, 1).doit() for xi in xs][:i])
          for f0, i in fs]
points = [((2, -1), (1, 1)),
          ((-1, 1, 2), (1, 2, 2)),
          ((2, 2, - 1), (5, 5, 2))]

for i, ((f, _), gradf, (p1, p2)) in enumerate(zip(fs, gradfs, points)):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    p1 = Matrix(p1)
    p2 = Matrix(p2) / Matrix(p2).norm()
    for t in [f, gradf.T, p1.T, p2.T, gradf.subs(dict(zip(xs, p1))).dot(p2)]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample11.py
(a)
 2  
x ⋅y

⎡        2⎤
⎣2⋅x⋅y  x ⎦

[2  -1]

⎡√2  √2⎤
⎢──  ──⎥
⎣2   2 ⎦

0


(b)
   ⎛   ______________⎞
   ⎜  ╱  2    2    2 ⎟
log⎝╲╱  x  + y  + z  ⎠

⎡     x             y             z      ⎤
⎢────────────  ────────────  ────────────⎥
⎢ 2    2    2   2    2    2   2    2    2⎥
⎣x  + y  + z   x  + y  + z   x  + y  + z ⎦

[-1  1  2]

[1/3  2/3  2/3]

5/18


(c)
       2          2          2
(x + y)  + (x + z)  + (y + z) 

[4⋅x + 2⋅y + 2⋅z  2⋅x + 4⋅y + 2⋅z  2⋅x + 2⋅y + 4⋅z]

[2  2  -1]

⎡5⋅√6  5⋅√6  √6⎤
⎢────  ────  ──⎥
⎣ 18    18   9 ⎦

6⋅√6


$