数学 - 図形の変換の方法 - 線形写像・1次変換 – 平面の1次変換 - 1次変換の逆変換(合成変換、逆変換、恒等変換、ベクトル、一次結合)

数学読本〈6〉

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数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード/εとδ/落ち穂拾い など(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第22章(図形の変換の方法 - 線形写像・1次変換)、22.2(平面の1次変換)、1次変換の逆変換、問9.を取り組んでみる。

9. 
   
   $\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}$

   を平面上の任意のベクトルにする。

   このとき、ある k、 l が存在して、

   $\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}=k\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{u}+l\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{v}$

   となる。

   このベクトルの合成変換による像は、

   $\begin{array}{}\left(f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f\right)\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}\right)\\ =f\left(f\left(k\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{u}+l\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{v}\right)\right)\\ =f\left(kf\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{u}\right)+lf\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{v}\right)\right)\\ =f\left(k\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{v}+l\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{u}\right)\\ =kf\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{v}\right)+lf\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{u}\right)\\ =k\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{u}+l\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{v}\\ =\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}\end{array}$

   よって、 この合成変換は恒等変換である。

   ゆえに、

   $f^{-1}=f$

   が成り立つ。

   （証明終）