数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(トレース、可換、可逆行列)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、3(行列の乗法)、練習問題21.を取り組んでみる。

21. 1. 
       
       $AB=\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{b}_{kj}\right)$
       $tr\left(AB\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{b}_{ki}\right)$
       $BA=\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{b}_{ik}{a}_{kj}\right)$
       $tr\left(BA\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{b}_{ik}{a}_{ki}\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{b}_{ki}\right)$

       よって

       $tr\left(AB\right)=tr\left(BA\right)$
    2. 
       
       $\begin{array}{}tr\left(B^{-1}AB\right)\\ =tr\left(B\left(B^{-1}A\right)\right)\\ =tr\left(\left(B{B}^{-1}\right)A\right)\\ =tr\left(EA\right)\\ =tr\left(A\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix
import random

for n in range(1, 5):
    print(f'{n}-次正方行列')
    A = Matrix([[symbols(f'a{i+1}{j+1}') for i in range(n)]
                for j in range(n)])
    B = Matrix([[symbols(f'b{i+1}{j+1}') for i in range(n)]
                for j in range(n)])
    for t in [A, B, A * B, B * A,
              (A * B).trace().expand() == (B * A).trace().expand(),
              (B ** (-1) * A * B).trace().factor() == A.trace().factor()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample21.py
1-次正方行列
[a₁₁]

[b₁₁]

[a₁₁⋅b₁₁]

[a₁₁⋅b₁₁]

True

True


2-次正方行列
⎡a₁₁  a₂₁⎤
⎢        ⎥
⎣a₁₂  a₂₂⎦

⎡b₁₁  b₂₁⎤
⎢        ⎥
⎣b₁₂  b₂₂⎦

⎡a₁₁⋅b₁₁ + a₂₁⋅b₁₂  a₁₁⋅b₂₁ + a₂₁⋅b₂₂⎤
⎢                                    ⎥
⎣a₁₂⋅b₁₁ + a₂₂⋅b₁₂  a₁₂⋅b₂₁ + a₂₂⋅b₂₂⎦

⎡a₁₁⋅b₁₁ + a₁₂⋅b₂₁  a₂₁⋅b₁₁ + a₂₂⋅b₂₁⎤
⎢                                    ⎥
⎣a₁₁⋅b₁₂ + a₁₂⋅b₂₂  a₂₁⋅b₁₂ + a₂₂⋅b₂₂⎦

True

True


3-次正方行列
⎡a₁₁  a₂₁  a₃₁⎤
⎢             ⎥
⎢a₁₂  a₂₂  a₃₂⎥
⎢             ⎥
⎣a₁₃  a₂₃  a₃₃⎦

⎡b₁₁  b₂₁  b₃₁⎤
⎢             ⎥
⎢b₁₂  b₂₂  b₃₂⎥
⎢             ⎥
⎣b₁₃  b₂₃  b₃₃⎦

⎡a₁₁⋅b₁₁ + a₂₁⋅b₁₂ + a₃₁⋅b₁₃  a₁₁⋅b₂₁ + a₂₁⋅b₂₂ + a₃₁⋅b₂₃  a₁₁⋅b₃₁ + a₂₁⋅b₃₂ +
⎢                                                                             
⎢a₁₂⋅b₁₁ + a₂₂⋅b₁₂ + a₃₂⋅b₁₃  a₁₂⋅b₂₁ + a₂₂⋅b₂₂ + a₃₂⋅b₂₃  a₁₂⋅b₃₁ + a₂₂⋅b₃₂ +
⎢                                                                             
⎣a₁₃⋅b₁₁ + a₂₃⋅b₁₂ + a₃₃⋅b₁₃  a₁₃⋅b₂₁ + a₂₃⋅b₂₂ + a₃₃⋅b₂₃  a₁₃⋅b₃₁ + a₂₃⋅b₃₂ +

 a₃₁⋅b₃₃⎤
        ⎥
 a₃₂⋅b₃₃⎥
        ⎥
 a₃₃⋅b₃₃⎦

⎡a₁₁⋅b₁₁ + a₁₂⋅b₂₁ + a₁₃⋅b₃₁  a₂₁⋅b₁₁ + a₂₂⋅b₂₁ + a₂₃⋅b₃₁  a₃₁⋅b₁₁ + a₃₂⋅b₂₁ +
⎢                                                                             
⎢a₁₁⋅b₁₂ + a₁₂⋅b₂₂ + a₁₃⋅b₃₂  a₂₁⋅b₁₂ + a₂₂⋅b₂₂ + a₂₃⋅b₃₂  a₃₁⋅b₁₂ + a₃₂⋅b₂₂ +
⎢                                                                             
⎣a₁₁⋅b₁₃ + a₁₂⋅b₂₃ + a₁₃⋅b₃₃  a₂₁⋅b₁₃ + a₂₂⋅b₂₃ + a₂₃⋅b₃₃  a₃₁⋅b₁₃ + a₃₂⋅b₂₃ +

 a₃₃⋅b₃₁⎤
        ⎥
 a₃₃⋅b₃₂⎥
        ⎥
 a₃₃⋅b₃₃⎦

True

True


4-次正方行列
⎡a₁₁  a₂₁  a₃₁  a₄₁⎤
⎢                  ⎥
⎢a₁₂  a₂₂  a₃₂  a₄₂⎥
⎢                  ⎥
⎢a₁₃  a₂₃  a₃₃  a₄₃⎥
⎢                  ⎥
⎣a₁₄  a₂₄  a₃₄  a₄₄⎦

⎡b₁₁  b₂₁  b₃₁  b₄₁⎤
⎢                  ⎥
⎢b₁₂  b₂₂  b₃₂  b₄₂⎥
⎢                  ⎥
⎢b₁₃  b₂₃  b₃₃  b₄₃⎥
⎢                  ⎥
⎣b₁₄  b₂₄  b₃₄  b₄₄⎦

⎡a₁₁⋅b₁₁ + a₂₁⋅b₁₂ + a₃₁⋅b₁₃ + a₄₁⋅b₁₄  a₁₁⋅b₂₁ + a₂₁⋅b₂₂ + a₃₁⋅b₂₃ + a₄₁⋅b₂₄ 
⎢                                                                             
⎢a₁₂⋅b₁₁ + a₂₂⋅b₁₂ + a₃₂⋅b₁₃ + a₄₂⋅b₁₄  a₁₂⋅b₂₁ + a₂₂⋅b₂₂ + a₃₂⋅b₂₃ + a₄₂⋅b₂₄ 
⎢                                                                             
⎢a₁₃⋅b₁₁ + a₂₃⋅b₁₂ + a₃₃⋅b₁₃ + a₄₃⋅b₁₄  a₁₃⋅b₂₁ + a₂₃⋅b₂₂ + a₃₃⋅b₂₃ + a₄₃⋅b₂₄ 
⎢                                                                             
⎣a₁₄⋅b₁₁ + a₂₄⋅b₁₂ + a₃₄⋅b₁₃ + a₄₄⋅b₁₄  a₁₄⋅b₂₁ + a₂₄⋅b₂₂ + a₃₄⋅b₂₃ + a₄₄⋅b₂₄ 

 a₁₁⋅b₃₁ + a₂₁⋅b₃₂ + a₃₁⋅b₃₃ + a₄₁⋅b₃₄  a₁₁⋅b₄₁ + a₂₁⋅b₄₂ + a₃₁⋅b₄₃ + a₄₁⋅b₄₄⎤
                                                                             ⎥
 a₁₂⋅b₃₁ + a₂₂⋅b₃₂ + a₃₂⋅b₃₃ + a₄₂⋅b₃₄  a₁₂⋅b₄₁ + a₂₂⋅b₄₂ + a₃₂⋅b₄₃ + a₄₂⋅b₄₄⎥
                                                                             ⎥
 a₁₃⋅b₃₁ + a₂₃⋅b₃₂ + a₃₃⋅b₃₃ + a₄₃⋅b₃₄  a₁₃⋅b₄₁ + a₂₃⋅b₄₂ + a₃₃⋅b₄₃ + a₄₃⋅b₄₄⎥
                                                                             ⎥
 a₁₄⋅b₃₁ + a₂₄⋅b₃₂ + a₃₄⋅b₃₃ + a₄₄⋅b₃₄  a₁₄⋅b₄₁ + a₂₄⋅b₄₂ + a₃₄⋅b₄₃ + a₄₄⋅b₄₄⎦

⎡a₁₁⋅b₁₁ + a₁₂⋅b₂₁ + a₁₃⋅b₃₁ + a₁₄⋅b₄₁  a₂₁⋅b₁₁ + a₂₂⋅b₂₁ + a₂₃⋅b₃₁ + a₂₄⋅b₄₁ 
⎢                                                                             
⎢a₁₁⋅b₁₂ + a₁₂⋅b₂₂ + a₁₃⋅b₃₂ + a₁₄⋅b₄₂  a₂₁⋅b₁₂ + a₂₂⋅b₂₂ + a₂₃⋅b₃₂ + a₂₄⋅b₄₂ 
⎢                                                                             
⎢a₁₁⋅b₁₃ + a₁₂⋅b₂₃ + a₁₃⋅b₃₃ + a₁₄⋅b₄₃  a₂₁⋅b₁₃ + a₂₂⋅b₂₃ + a₂₃⋅b₃₃ + a₂₄⋅b₄₃ 
⎢                                                                             
⎣a₁₁⋅b₁₄ + a₁₂⋅b₂₄ + a₁₃⋅b₃₄ + a₁₄⋅b₄₄  a₂₁⋅b₁₄ + a₂₂⋅b₂₄ + a₂₃⋅b₃₄ + a₂₄⋅b₄₄ 

 a₃₁⋅b₁₁ + a₃₂⋅b₂₁ + a₃₃⋅b₃₁ + a₃₄⋅b₄₁  a₄₁⋅b₁₁ + a₄₂⋅b₂₁ + a₄₃⋅b₃₁ + a₄₄⋅b₄₁⎤
                                                                             ⎥
 a₃₁⋅b₁₂ + a₃₂⋅b₂₂ + a₃₃⋅b₃₂ + a₃₄⋅b₄₂  a₄₁⋅b₁₂ + a₄₂⋅b₂₂ + a₄₃⋅b₃₂ + a₄₄⋅b₄₂⎥
                                                                             ⎥
 a₃₁⋅b₁₃ + a₃₂⋅b₂₃ + a₃₃⋅b₃₃ + a₃₄⋅b₄₃  a₄₁⋅b₁₃ + a₄₂⋅b₂₃ + a₄₃⋅b₃₃ + a₄₄⋅b₄₃⎥
                                                                             ⎥
 a₃₁⋅b₁₄ + a₃₂⋅b₂₄ + a₃₃⋅b₃₄ + a₃₄⋅b₄₄  a₄₁⋅b₁₄ + a₄₂⋅b₂₄ + a₄₃⋅b₃₄ + a₄₄⋅b₄₄⎦

True

True


$