数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(転置行列、対称行列、スカラー積の定義、負数)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、3(行列の乗法)、練習問題10.を取り組んでみる。

10. 1. 
       

       ベクトル A、 B、 C

       $\begin{array}{}{A}^T=\left(a_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_n\right)\\ B^T=\left(b_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,b_n\right)\\ C^T=\left(c_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,c_n\right)\end{array}$

       とおく。

       また、行列 M の成分表示を

       $M=\left(x_{ij}\right)$

       とおく。

       問題の仮定より、

       $x_{ij}=x_{ji}$

       SP 1 について。

       $\begin{array}{}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_k{x}_{kj}\right)B\\ =\left(\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_k{x}_{kl}\right)b_l\right)\end{array}$
       $\begin{array}{}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->B,A⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{b}_k{x}_{kj}\right)A\\ =\left(\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{b}_k{x}_{kl}\right)a_l\right)\\ =\left(\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_l{x}_{kl}{b}_k\right)\right)\end{array}$

       ここで、

       $x_{kl}=x_{lk}$

       であることを考えれば、

       $\begin{array}{}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->B,A⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =\left(\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_k{x}_{kl}\right)b_l\right)\end{array}$

       よって、

       $⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->=⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->B,A⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->$
    2. 
       
       $\begin{array}{}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B+C⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_k{x}_{kj}\right)\left(B+C\right)\\ =\left(\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_k{x}_{kl}\right)\left(b_l+c_l\right)\right)\\ =\left(\left(\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_k{x}_{ke}\right)b_l\right)+\left(\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_k{x}_{kl}\right)c_l\right)\right)\\ =⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->+⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,C⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\end{array}$

       SP 1より

       $⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->B+C,A⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->=⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B+C⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->$

       よって、

       $⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B+c⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->=⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->+⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,c⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->=⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->B+C,A⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->$
    3. 
       
       $\begin{array}{}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->xA,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}x{a}_k{x}_{kj}\right)B\\ =x\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_k{x}_{kj}\right)B\\ =x\left(\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_k{x}_{kl}\right)b_l\right)\\ =x⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\end{array}$
       $\begin{array}{}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,xB⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_k{x}_{kj}\right)\left(xB\right)\\ =\left(\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_k{x}_{kl}\right)x{b}_l\right)\\ =x\left(\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_k{x}_{ke}\right)b_l\right)\\ =x⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\end{array}$
    4. 
       
       $\begin{array}{}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->O,O⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}0x_{kj}\right)O\\ =O\end{array}$

    負数となる例。

    $A=(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}),M=(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}),B=(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array})$

    実際に確認。

    $\left(1,0\right)(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\left)(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right)=\left(1,0\right)(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array})=\left(-1+0\right)=\left(-1\right)$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

M = Matrix([[1, 0],
            [0, 1]])

A = Matrix([[1],
            [0]])

B = Matrix([[-1],
            [0]])


for t in [M, A, B, M == M.T, A.T * M * B]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample10.py
⎡1  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  1⎦

⎡1⎤
⎢ ⎥
⎣0⎦

⎡-1⎤
⎢  ⎥
⎣0 ⎦

True

[-1]

$