数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(積の転置行列と転置行列の積、逆順)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、3(行列の乗法)、練習問題9.を取り組んでみる。

9. 1. 
      
      $\begin{array}{}{\left(AB\right)}^T\\ ={(\begin{array}{cc}-2+1& 2\\ -3+1& 3\end{array})}^{}\end{array}T={(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -2& 3\end{array})}^T\\ =(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 2& 3\end{array})$
      $\begin{array}{}{B}^T{A}^T\\ =(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 0\end{array})\end{array}(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 1\end{array})=(\begin{array}{cc}-2+1& -3+1\\ 2& 3\end{array})\\ =(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 2& 3\end{array})$

      よって、

      ${\left(AB\right)}^T=B^T{A}^T$
   2. 
      
      $\begin{array}{}{\left(AB\right)}^T\\ ={(\begin{array}{cc}2+2-3& 2+1\\ 3+2+6& 3-2\end{array})}^{}\end{array}T={(\begin{array}{cc}1& 3\\ 11& 1\end{array})}^T\\ =(\begin{array}{cc}1& 11\\ 3& 1\end{array})$
      $\begin{array}{}{B}^T{A}^T\\ =(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 0& -1\end{array})\end{array}(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 1\\ -1& 2\end{array})=(\begin{array}{cc}2+2-3& 3+2+6\\ 2+1& 3-2\end{array})\\ =(\begin{array}{cc}1& 11\\ 3& 1\end{array})$

      よって、

      ${\left(AB\right)}^T=B^T{A}^T$
   3. 
      
      $\begin{array}{}{\left(AB\right)}^T\\ ={(\begin{array}{ccc}2+8+3& 2+4+1& -4+5\\ 3-3& 3-1& -5\end{array})}^{}\end{array}T={(\begin{array}{ccc}13& 7& 1\\ 0& 2& -5\end{array})}^T\\ =(\begin{array}{cc}13& 0\\ 7& 2\\ 1& -5\end{array})$
      $\begin{array}{}{B}^T{A}^T\\ =(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 1& 1\\ 0& -1& 5\end{array})\end{array}(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 0\\ 1& -1\end{array})=(\begin{array}{ccc}2+8+3& 3& -3\\ 2+4+1& 3& -1\\ -4+5& & -5\end{array})\\ =(\begin{array}{cc}13& 0\\ 7& 2\\ 1& -5\end{array})$

      よって、

      ${\left(AB\right)}^T=B^T{A}^T$

   行列 A. B、 C をそれぞれ

   $m\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->n,n\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->l,l\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->k$

   型の行列とする。

   成分表示を考える。

   $\begin{array}{}ABC\\ =\left(\underset{t=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{it}{b}_{tj}\right)C\\ =\left(\underset{s=1}{\overset{l}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{t=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{it}{b}_{ts}\right)c_{sj}\right)\end{array}$

   よって、

   ${\left(ABC\right)}^T=\left(\underset{s=1}{\overset{l}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{t=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{jt}{b}_{ts}\right)c_{si}\right)$

   また、

   $\begin{array}{}{C}^T{B}^T{A}^T\\ =\left(\underset{s=1}{\overset{l}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{c}_{si}{b}_{js}\right)A^T\\ =\left(\underset{t=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{s=1}{\overset{l}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{c}_{si}{b}_{ts}\right)a_{jt}\right)\\ =\left(\underset{s=1}{\overset{l}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{t=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{jt}{b}_{ts}{c}_{si}\right)\right)\\ =\left(\underset{s=1}{\overset{l}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{t=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{jt}{b}_{ts}\right)c_{si}\right)\end{array}$

   よって、

   ${\left(ABC\right)}^T=C^T{B}^T{A}^T$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, MatrixSymbol

m, n, l, k = symbols('m, n, l, k', integer=True)
A = MatrixSymbol('A', m, n)
B = MatrixSymbol('B', n, l)
C = MatrixSymbol('C', l, k)
X1 = (A * B * C).T
X2 = C.T * B.T * A.T

for t in [A, B, C, X1, X2, X1 == X2]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample9.py
A

B

C

 T  T  T
C ⋅B ⋅A 

 T  T  T
C ⋅B ⋅A 

True

$