数学 - Python - 集合と位相 - 順序集合、Zorn の補題 - 順序集合(冪集合、包含関係、全順序、半順序)

集合・位相入門

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  • Pythonからはじめる数学入門
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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(順序集合、Zorn の補題)、1(順序集合)、A(順序関係).を取り組んでみる。

0. 
   

   集合 X を

   $X=\left\{a,b\right\}\left(a\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->b\right)$

   とする。

   この集合のべき集合。

   $2^X=\left\{\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->},\left\{a\right\},\left\{b\right\},X\right\}$
   $\left\{a\right\}\not\subset \; <!--\; not\; a\; subset\; of\; -->\left\{b\right\}\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->\left\{b\right\}\not\subset \; <!--\; not\; a\; subset\; of\; -->\left\{a\right\}$

   となり、比較可能ではない。

   よって包含関係について、全順序ではなく半順序である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib_venn import venn3
from sympy import pprint, symbols, FiniteSet

X = FiniteSet(1, 2)
P = X.powerset()
pprint(P)
print()
for x in P:
    for y in P:
        pprint(x)
        pprint(y)
        try:
            print(x <= y or y <= x)
        except Exception as err:
            print(type(err), err)
    print()

l = list(P)
pprint(l)
venn3(subsets=l[:3])
plt.savefig('sample0.svg')

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample0.py
{∅, {1}, {2}, {1, 2}}

{1}
{1}
True
{1}
{1, 2}
True
{1}
{2}
False
{1}
∅
True

{1, 2}
{1}
True
{1, 2}
{1, 2}
True
{1, 2}
{2}
True
{1, 2}
∅
True

{2}
{1}
False
{2}
{1, 2}
True
{2}
{2}
True
{2}
∅
True

∅
{1}
True
∅
{1, 2}
True
∅
{2}
True
∅
∅
<class 'TypeError'> '<=' not supported between instances of 'EmptySet' and 'EmptySet'

[{1}, {1, 2}, {2}, ∅]
$