数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(n-次の正方行列、上三角行列と狭義の上三角行列、累乗(べき乗)、零行列、逆行列)

ラング線形代数学(上)
原著

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、3(行列の乗法)、練習問題17.を取り組んでみる。

17. 
    

    対角要素が1である三角行列から単位行列を引いた行列

    $N=A-I_n$

    は狭義の上三角行列なので、 前間の間16より

    $N^n=O$

    である。

    $\begin{array}{}A\left(I-N+N^2-\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\left(-1\right)}^{n-1}{N}^{n-1}\right)\\ =\left(I+N\right)\left(I-N+N^2-\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\left(-1\right)}^{n-1}{N}^{n-1}\right)\\ =I+{\left(-1\right)}^{n-1}{N}^n\\ =I+{\left(-1\right)}^{n-1}O\\ =I\end{array}$

    よって、 A は可逆行列で、その色行列は、

    $A^{-1}=I-N+N^2-\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\left(-1\right)}^{n-1}{N}^{n-1}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, Rational
import random

for n in range(1, 6):
    A = Matrix([[symbols(f'a{i}{j}') if i < j else 1 if i == j else 0
                 for j in range(n)]
                for i in range(n)])
    I = Matrix([[1 if i == j else 0 for j in range(n)]
                for i in range(n)])
    N = A - I
    for t in [A, N, N ** n, A ** (-1)]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample17.py
[1]

[0]

[0]

[1]


⎡1  a₀₁⎤
⎢      ⎥
⎣0   1 ⎦

⎡0  a₀₁⎤
⎢      ⎥
⎣0   0 ⎦

⎡0  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  0⎦

⎡1  -a₀₁⎤
⎢       ⎥
⎣0   1  ⎦


⎡1  a₀₁  a₀₂⎤
⎢           ⎥
⎢0   1   a₁₂⎥
⎢           ⎥
⎣0   0    1 ⎦

⎡0  a₀₁  a₀₂⎤
⎢           ⎥
⎢0   0   a₁₂⎥
⎢           ⎥
⎣0   0    0 ⎦

⎡0  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦

⎡1  -a₀₁  a₀₁⋅a₁₂ - a₀₂⎤
⎢                      ⎥
⎢0   1        -a₁₂     ⎥
⎢                      ⎥
⎣0   0          1      ⎦


⎡1  a₀₁  a₀₂  a₀₃⎤
⎢                ⎥
⎢0   1   a₁₂  a₁₃⎥
⎢                ⎥
⎢0   0    1   a₂₃⎥
⎢                ⎥
⎣0   0    0    1 ⎦

⎡0  a₀₁  a₀₂  a₀₃⎤
⎢                ⎥
⎢0   0   a₁₂  a₁₃⎥
⎢                ⎥
⎢0   0    0   a₂₃⎥
⎢                ⎥
⎣0   0    0    0 ⎦

⎡0  0  0  0⎤
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  0⎦

⎡1  -a₀₁  a₀₁⋅a₁₂ - a₀₂  a₀₁⋅a₁₃ - a₀₃ + a₂₃⋅(-a₀₁⋅a₁₂ + a₀₂)⎤
⎢                                                            ⎥
⎢0   1        -a₁₂                  a₁₂⋅a₂₃ - a₁₃            ⎥
⎢                                                            ⎥
⎢0   0          1                        -a₂₃                ⎥
⎢                                                            ⎥
⎣0   0          0                         1                  ⎦


⎡1  a₀₁  a₀₂  a₀₃  a₀₄⎤
⎢                     ⎥
⎢0   1   a₁₂  a₁₃  a₁₄⎥
⎢                     ⎥
⎢0   0    1   a₂₃  a₂₄⎥
⎢                     ⎥
⎢0   0    0    1   a₃₄⎥
⎢                     ⎥
⎣0   0    0    0    1 ⎦

⎡0  a₀₁  a₀₂  a₀₃  a₀₄⎤
⎢                     ⎥
⎢0   0   a₁₂  a₁₃  a₁₄⎥
⎢                     ⎥
⎢0   0    0   a₂₃  a₂₄⎥
⎢                     ⎥
⎢0   0    0    0   a₃₄⎥
⎢                     ⎥
⎣0   0    0    0    0 ⎦

⎡0  0  0  0  0⎤
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎣0  0  0  0  0⎦

⎡1  -a₀₁  a₀₁⋅a₁₂ - a₀₂  a₀₁⋅a₁₃ - a₀₃ + a₂₃⋅(-a₀₁⋅a₁₂ + a₀₂)  a₀₁⋅a₁₄ - a₀₄ +
⎢                                                                             
⎢0   1        -a₁₂                  a₁₂⋅a₂₃ - a₁₃                             
⎢                                                                             
⎢0   0          1                        -a₂₃                                 
⎢                                                                             
⎢0   0          0                         1                                   
⎢                                                                             
⎣0   0          0                         0                                   

 a₂₄⋅(-a₀₁⋅a₁₂ + a₀₂) + a₃₄⋅(-a₀₁⋅a₁₃ + a₀₃ - a₂₃⋅(-a₀₁⋅a₁₂ + a₀₂))⎤
                                                                   ⎥
        a₁₂⋅a₂₄ - a₁₄ + a₃₄⋅(-a₁₂⋅a₂₃ + a₁₃)                       ⎥
                                                                   ⎥
                   a₂₃⋅a₃₄ - a₂₄                                   ⎥
                                                                   ⎥
                        -a₃₄                                       ⎥
                                                                   ⎥
                         1                                         ⎦


$