数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列式 - 3次の行列式の諸性質(各列、加法、スカラー倍、線形性、零列ベクトル)

数学読本〈5〉

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  • Pythonからはじめる数学入門
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数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.2(行列式)、3次の行列式の諸性質、問32.を取り組んでみる。

32. 
    
    $\begin{array}{}\det \left(k\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}+l\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b}+m\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)\\ =k\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)+l\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)+m\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)\\ =k\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)+l\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{0},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)+m\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{0},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)\\ =k\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, MatrixSymbol, Matrix

k, l, m = symbols('k, l, m')
a = MatrixSymbol('a', 3, 1)
b = MatrixSymbol('b', 3, 1)
c = MatrixSymbol('c', 3, 1)
X1 = Matrix([[x[i] for x in [k * a + l * b + m * c, b, c]]
             for i in range(3)])
X2 = Matrix([[x[i] for x in [a, b, c]]
             for i in range(3)])

d1 = X1.det()
d2 = k * X2.det()

for t in [X1, d1, d1.factor(), X2, d2, d2.factor(), d1.expand() == d2.expand()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

a./sample32.py
⎡k⋅a₀₀ + l⋅b₀₀ + m⋅c₀₀  b₀₀  c₀₀⎤
⎢                               ⎥
⎢k⋅a₁₀ + l⋅b₁₀ + m⋅c₁₀  b₁₀  c₁₀⎥
⎢                               ⎥
⎣k⋅a₂₀ + l⋅b₂₀ + m⋅c₂₀  b₂₀  c₂₀⎦

(k⋅a₀₀ + l⋅b₀₀ + m⋅c₀₀)⋅b₁₀⋅c₂₀ - (k⋅a₀₀ + l⋅b₀₀ + m⋅c₀₀)⋅b₂₀⋅c₁₀ - (k⋅a₁₀ + l
⋅b₁₀ + m⋅c₁₀)⋅b₀₀⋅c₂₀ + (k⋅a₁₀ + l⋅b₁₀ + m⋅c₁₀)⋅b₂₀⋅c₀₀ + (k⋅a₂₀ + l⋅b₂₀ + m⋅c
₂₀)⋅b₀₀⋅c₁₀ - (k⋅a₂₀ + l⋅b₂₀ + m⋅c₂₀)⋅b₁₀⋅c₀₀

k⋅(a₀₀⋅b₁₀⋅c₂₀ - a₀₀⋅b₂₀⋅c₁₀ - a₁₀⋅b₀₀⋅c₂₀ + a₁₀⋅b₂₀⋅c₀₀ + a₂₀⋅b₀₀⋅c₁₀ - a₂₀⋅b
₁₀⋅c₀₀)

⎡a₀₀  b₀₀  c₀₀⎤
⎢             ⎥
⎢a₁₀  b₁₀  c₁₀⎥
⎢             ⎥
⎣a₂₀  b₂₀  c₂₀⎦

k⋅(a₀₀⋅b₁₀⋅c₂₀ - a₀₀⋅b₂₀⋅c₁₀ - a₁₀⋅b₀₀⋅c₂₀ + a₁₀⋅b₂₀⋅c₀₀ + a₂₀⋅b₀₀⋅c₁₀ - a₂₀⋅b
₁₀⋅c₀₀)

k⋅(a₀₀⋅b₁₀⋅c₂₀ - a₀₀⋅b₂₀⋅c₁₀ - a₁₀⋅b₀₀⋅c₂₀ + a₁₀⋅b₂₀⋅c₀₀ + a₂₀⋅b₀₀⋅c₁₀ - a₂₀⋅b
₁₀⋅c₀₀)

True

$