数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列式 - 3次の行列式の諸性質(行、列、定数倍、和、記号)

数学読本〈5〉

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数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.2(行列式)、3次の行列式の諸性質、問29.を取り組んでみる。

29. 1. 
       
       $\begin{array}{}|\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1-a^2& a& 1-a\\ 1-a& 1& a-1\end{array}|\end{array}=-\left(\left(1-a^2\right)\left(a-1\right)-{\left(1-a\right)}^2\right)\\ =\left(1-a^2\right)\left(1-a\right)+{\left(1-a\right)}^2\\ ={\left(1-a\right)}^2\left(1+a+1\right)\\ ={\left(1-a\right)}^2\left(a+2\right)\\ ={\left(a-1\right)}^2\left(a+2\right)$
    2. 
       
       $\begin{array}{}|\begin{array}{ccc}1& a& b-a\\ a& 1& 0\\ b& 1& 0\end{array}|\end{array}=\left(b-a\right)\left(a-b\right)\\ =-{\left(a-b\right)}^2$
    3. 
       
       $\begin{array}{}a\left(bc-a^2\right)-b\left(b^2-ac\right)+c\left(ab-c^2\right)\\ =abc-a^3-b^3+abc+abc-c^3\\ =3abc-a^3-b^3-c^3\end{array}$
    4. 
       
       $\begin{array}{}|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ a& b-a& c-a\\ a^2& b^2-a^2& c^2-a^2\end{array}|\end{array}=\left(b-a\right)\left(c^2-a^2\right)-\left(c-a\right)\left(b^2-a^2\right)\\ =\left(c-a\right)\left(b-a\right)\left(\left(c-a\right)-\left(b+a\right)\right)\\ =\left(c-a\right)\left(b-a\right)\left(c-b\right)\\ =\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

a, b, c = symbols('a, b, c')
XS = [
    [a, 1, 1, 1, a, 1, 1, 1, a],
    [1, a, b, a, 1, 1, b, 1, 1],
    [a, b, c, b, c, a, c, a, b],
    [1, 1, 1, a, b, c, a ** 2, b ** 2, c ** 2]
]


for i, t in enumerate(XS, 1):
    print(f'({i})')
    X = Matrix(t).reshape(3, 3)
    d = X.det()
    for s in [X, d, d.factor()]:
        pprint(s)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample29.py
(1)
⎡a  1  1⎤
⎢       ⎥
⎢1  a  1⎥
⎢       ⎥
⎣1  1  a⎦

 3          
a  - 3⋅a + 2

       2        
(a - 1) ⋅(a + 2)


(2)
⎡1  a  b⎤
⎢       ⎥
⎢a  1  1⎥
⎢       ⎥
⎣b  1  1⎦

   2            2
- a  + 2⋅a⋅b - b 

        2
-(a - b) 


(3)
⎡a  b  c⎤
⎢       ⎥
⎢b  c  a⎥
⎢       ⎥
⎣c  a  b⎦

   3              3    3
- a  + 3⋅a⋅b⋅c - b  - c 

             ⎛ 2                2          2⎞
-(a + b + c)⋅⎝a  - a⋅b - a⋅c + b  - b⋅c + c ⎠


(4)
⎡1   1   1 ⎤
⎢          ⎥
⎢a   b   c ⎥
⎢          ⎥
⎢ 2   2   2⎥
⎣a   b   c ⎦

   2      2        2      2    2        2
- a ⋅b + a ⋅c + a⋅b  - a⋅c  - b ⋅c + b⋅c 

-(a - b)⋅(a - c)⋅(b - c)


$