数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列式と面積・体積 - 2次の行列式と面積(2つのベクトルで張られる平行四辺形の面積と三角形の面積)

数学読本〈5〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
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• iPad Pro + Apple Pencil
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.4(行列式と面積・体積)、2次の行列式と面積、問40.を取り組んでみる。

40. 
    

    もとめる三角形の面積は、ベクトル

    $(\begin{array}{c}{x}_2-x_1\\ y_2-y_1\end{array}),(\begin{array}{c}{x}_3-x_1\\ y_3-y_1\end{array})$

    で張られる平行四辺形の面積の半分なので、

    $S=\frac{1}{2}\left|\det (\begin{array}{cc}{x}_2-x_1& x_3-x_1\\ y_2-y_1& y_3-y_1\end{array})\right|$

    また、

    $\begin{array}{}\frac{1}{2}\left|\det (\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ x_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\end{array})\right|\end{array}=\frac{1}{2}\left|\det (\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ x_1& x_2-x_1& x_3-x_1\\ y_1& y_2-y_1& y_3-y_1\end{array})\right|\\ =\frac{1}{2}\left|\det (\begin{array}{cc}{x}_2-x_1& x_3-x_1\\ y_2-y_1& y_3-y_1\end{array})\right|$

    よって、

    $S=\frac{1}{2}\left|\det (\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ x_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\end{array})\right|$

    （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Triangle, Point2D, Matrix

x1, x2, x3, y1, y2, y3 = symbols('x1, x2, x3, y1, y2, y3', real=True)
t = Triangle(Point2D(x1, y1), Point2D(x2, y2), Point2D(x3, y3))
ts = t.area
m = Matrix([[1, 1, 1],
            [x1, x2, x3],
            [y1, y2, y3]])
s = m.det() / 2

for o in [t, ts, m, s, ts == s]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample40.py
Triangle(Point2D(x1, y1), Point2D(x2, y2), Point2D(x3, y3))

x₁⋅y₂   x₁⋅y₃   x₂⋅y₁   x₂⋅y₃   x₃⋅y₁   x₃⋅y₂
───── - ───── - ───── + ───── + ───── - ─────
  2       2       2       2       2       2  

⎡1   1   1 ⎤
⎢          ⎥
⎢x₁  x₂  x₃⎥
⎢          ⎥
⎣y₁  y₂  y₃⎦

x₁⋅y₂   x₁⋅y₃   x₂⋅y₁   x₂⋅y₃   x₃⋅y₁   x₃⋅y₂
───── - ───── - ───── + ───── + ───── - ─────
  2       2       2       2       2       2  

True

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