数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 1次方程式(連立1次同次方程式、複素数、実数、自明でない解)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(1次方程式)、練習問題6.を取り組んでみる。

6. 
   

   複素数における自明ではない解を、

   $x_1=z_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n=z_n$

   とする。

   このとき、

   $z_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+z_n{A}^n=O$

   ここで、

   $z_k=a_k+b_{k}i\left(a_k,b_k\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->},k=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)$

   とおくと、

   $\begin{array}{}\left(a_1+b{i}_1\right)A^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left(a_n+b_{n}i\right)A^n=O\\ \left(a_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n{A}^n\right)+i\left(b_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+b_n{A}^n\right)=O\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{}{a}_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n{A}^n=O\\ b_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+b_n{A}^n=O\end{array}$

   最初の、

   $x_1=z_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n=z_n$

   は自明ではない解であるということから、

   $\neg \left(a_1=0,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_n=0,b_1=0,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,b_n=0\right)$

   が成り立つので、実数においても自明ではない解をもつ。
   （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve


A1 = Matrix([[1],
             [2]])
A2 = Matrix([[2],
             [4]])
Z = Matrix([[0],
            [0]])

a1, a2 = symbols('a1, a2', real=True)
z1, z2 = symbols('z1, z2', imag=True)
eq1 = a1 * A1 + a2 * A2
eq2 = z1 * A1 + z2 * A2


for t in [A1, A2, Z, eq1, solve(eq1, a1, a2), eq2, solve(eq2, z1, z2)]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample6.py
⎡1⎤
⎢ ⎥
⎣2⎦

⎡2⎤
⎢ ⎥
⎣4⎦

⎡0⎤
⎢ ⎥
⎣0⎦

⎡ a₁ + 2⋅a₂ ⎤
⎢           ⎥
⎣2⋅a₁ + 4⋅a₂⎦

{a₁: -2⋅a₂}

⎡ z₁ + 2⋅z₂ ⎤
⎢           ⎥
⎣2⋅z₁ + 4⋅z₂⎦

{z₁: -2⋅z₂}

$