数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 1次方程式(複素数における連立1次方程式の解)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(1次方程式)、練習問題4.を取り組んでみる。

4. 1. 
      
      $\begin{array}{}ix-2y=1\\ ix-y=2i\end{array}$
      $\begin{array}{}-y=1-2i\\ y=-1+2i\end{array}$
      $\begin{array}{}x=2-i\left(-1+2i\right)\\ =4+i\end{array}$
   2. 
      
      $x=2y-iz$
      $\begin{array}{}2\left(2y-iz\right)+iy-\left(1+i\right)z=1\\ \left(4+i\right)y-\left(1+3i\right)z=1\end{array}$
      $\begin{array}{}-2iy-z+y-\left(2-i\right)z=1\\ \left(1-2i\right)y-\left(3-i\right)z=1\end{array}$
      $\begin{array}{}z=\frac{\left(4+i\right)y-1}{1+3i}\\ z=\frac{\left(1-2i\right)y-1}{3-i}\end{array}$
      $\begin{array}{}\frac{\left(4+i\right)y-1}{1+3i}=\frac{\left(1-2i\right)y-1}{3-i}\\ \left(3-i\right)\left(4+i\right)y-3+i=\left(1+3i\right)\left(1-2i\right)y-1-3i\\ \left(12+1-i\right)y-3+i=\left(1+6+i\right)y-1-3i\\ \left(13-i\right)y-3+i=\left(7+i\right)y-1-3i\\ \left(6-2i\right)y=2-4i\\ y=\frac{2-4i}{6-2i}.\\ =\frac{1-2i}{3-i}\\ =\frac{\left(1-2i\right)\left(3+i\right)}{9+1}\\ =\frac{5-5i}{10}\\ =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\end{array}$
      $\begin{array}{}z=\frac{\left(1-2i\right)\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right)-1}{3-i}\\ =\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\left(1-2i\right)\left(1-i\right)-2}{3-i-}\\ =\frac{1}{2}=\frac{1-2-3i-2}{3-i}\\ =\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{-3i-3}{3-i}\\ =-\frac{3}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1+i}{3-i}\\ =-\frac{3}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\left(1+i\right)\left(3+i\right)}{9+1}\\ =-\frac{3}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2+4i}{10}\\ =\frac{-3\left(1+2i\right)}{10}\\ =-\frac{3}{10}-\frac{3}{5}i\end{array}$
      $\begin{array}{}x=\left(1-i\right)+\frac{3}{10}i-\frac{3}{5}\\ =\frac{2}{5}-\frac{7}{10}i\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, I, solve

x, y, z = symbols('x, y, z')

a = [(I * x - 2 * y - 1,
      x + I * y - 2),
     (2 * x + I * y - (1 + I) * z - 1,
      x - 2 * y + I * z,
      -I * x + y - (2 - I) * z - 1)]

for i, t in enumerate(a):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    pprint(solve(t))
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
(a)
{x: 4 + ⅈ, y: ⅈ⋅(2 + ⅈ)}

(b)
⎧   2   7⋅ⅈ     1   ⅈ       3    3⋅ⅈ⎫
⎨x: ─ - ───, y: ─ - ─, z: - ── - ───⎬
⎩   5    10     2   2       10    5 ⎭

$