数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 1次方程式(列ベクトル、実数の上での1次独立、複素数の上での1次独立)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(1次方程式)、練習問題5.を取り組んでみる。

5. 
   
   $z_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+z_n{A}^n=O\left(z_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,z_n\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℂ <!-- double-struck capital C -->}\right)$

   とする。

   また、

   $z_k=a_k+b_{k}i\left(a_k,b_k\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->},k=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)$

   とおく。

   このとき、

   $\begin{array}{}\left(a_1+b_{1}i\right)A^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left(a_n+b_{n}i\right)A^n=O\\ \left(a_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n{A}^n\right)+i\left(b_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+b_n{A}^n\right)=O\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{}{a}_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n{A}^n=O\\ b_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+b_n{A}^n=O\end{array}$

   となるが、問題の仮定より、

   $A^1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,A^n$

   は1次独立なので、

   $\begin{array}{}{a}_1=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=a_1=0\\ b_1=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=b_n=0\end{array}$

   となる。

   ゆえに、

   $z_1=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=z_n=0$

   となるので、列ベクトル

   $A^1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,A^n$

   は複素数の上で1次独立である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve


A1 = Matrix([[1],
             [0]])
A2 = Matrix([[0],
             [1]])
Z = Matrix([[0],
            [0]])

a1, a2 = symbols('a1, a2', real=True)
z1, z2 = symbols('z1, z2', imag=True)
eq1 = a1 * A1 + a2 * A2
eq2 = z1 * A1 + z2 * A2


for t in [A1, A2, Z, eq1, solve(eq1), eq2, solve(eq2)]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample5.py
⎡1⎤
⎢ ⎥
⎣0⎦

⎡0⎤
⎢ ⎥
⎣1⎦

⎡0⎤
⎢ ⎥
⎣0⎦

⎡a₁⎤
⎢  ⎥
⎣a₂⎦

{a₁: 0, a₂: 0}

⎡z₁⎤
⎢  ⎥
⎣z₂⎦

{z₁: 0, z₂: 0}

$