数学 - 解析学 - 連続写像の空間 - ノルム空間(連続写像列の極限と連続、一様収束であるための十分上限、ディニ(Dini)の定理)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(連続写像の空間)、13.1(ノルム空間)、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   
   $g_n\left(x\right)=f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\left(n=1,2,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\right)$

   とおく。
   問題の仮定より、 集合 X の任意の元 x に対して、

   $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{g}_n\left(x\right)=0$

   となる。

   よって、 X の任意の元 x、任意の

   $\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}>0$

   に対してある自然数 m が存在して、

   $\left|g_m\left(x\right)-0\right|=\left|g_m\left(x\right)\right|<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

   また、

   $g_m$

   は連続なので、×のある開近傍

   $V\left(x\right)$

   が存在して、任意の

   $x_0\in \; <!--\; element\; of\; -->V\left(x\right)$

   に対して、

   $\left|g_m\left(x_0\right)\right|<2\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

   ここで、

   $\left(g_n\right)$

   は広義単調減少列であることから、

   $k\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->m$

   を満たす任意の自然数 k と任意の

   $x\text{'}\in \; <!--\; element\; of\; -->V\left(x\right)$

   に対して

   $\left|g_k\left(x\text{'}\right)\right|<2\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

   問題の仮定より X はコンパクトな距離空間であるから、有限個の

   $x_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_s\in \; <!--\; element\; of\; -->X$

   が存在し、

   $X=V\left(x_1\right)\cup \; <!--\; union\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\cup \; <!--\; union\; -->V\left(x_s\right)$

   となる。

   よって、 x に対する m のように

   $x_1,x_2,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_s$

   に対する

   $m_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,m_s$

   をとり、

   $n_0=\max \left\{m_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,m_s\right\}$

   とおけば、任意の

   $n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->n_0$

   と任意の X の任意 x に対して、

   $\left|g_n\left(x\right)\right|<2\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

   よって、

   $\left(g_n\right)=\left(f_n-f\right)$

   は0に一様収をするので、

   $\left(f_n\right)$

   は f に一様収束する。

   （証明終）