2017年12月2日土曜日

学習環境

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題2.を取り組んでみる。


  1. p 1 r 1 p k r k

    は a、 b の公倍数である。

    このとき、

    s < r i 1 i k p 1 r 1 p i s p k r k

    を満たす s、公倍数が存在すると仮定すると、この公倍数は最初の公倍数より小さい。

    max α i , β i = r i

    より、

    s < α i s < β i

    となる。

    s < α i

    の場合、

    p s < p α i

    となるので、 a の公倍数という仮定と矛盾。

    同様に、 b の公倍数という仮定と矛盾。

    よって、

    p 1 r 1 p k r k

    は a と b の最小公倍数である。

    最大公約数であることについても同様に考えればいい。

    (証明終)

    一般化について。

    max α 1 i , , α n i = γ i , min α 1 i , , α n i = δ i

    とすればいい。

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