数学 - 代数学 - 整数 - 素数、素因数分解(累乗(べき乗)、最大値、最小値、最小公倍数、最大公約数、一般化)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   
   $p_1^{r_1}\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->p_k^{r_k}$

   は a、 b の公倍数である。

   このとき、

   $\begin{array}{}s<r_i\left(1\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->i\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->k\right)\\ p_1^{r_1}\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->p_i^s\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->p_k^{r_k}\end{array}$

   を満たす s、公倍数が存在すると仮定すると、この公倍数は最初の公倍数より小さい。

   $\max \left\{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i,{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_i\right\}=r_i$

   より、

   $\left(s<{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i\right)\vee \; <!--\; logical\; or\; -->\left(s<{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_i\right)$

   となる。

   $s<{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i$

   の場合、

   $p^s<p^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i}$

   となるので、 a の公倍数という仮定と矛盾。

   同様に、 b の公倍数という仮定と矛盾。

   よって、

   $p_1^{r_1}\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->p_k^{r_k}$

   は a と b の最小公倍数である。

   最大公約数であることについても同様に考えればいい。

   （証明終）

   一般化について。

   $\max \left\{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{1i},\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{ni}\right\}={\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}}_i,\min \left\{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{1i},\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{ni}\right\}={\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}}_i$

   とすればいい。