数学 - 解析学 - 連続写像の空間 - ストーン・ワイエルシュトラスの定理(閉区間、実数値連続関数、実係数多項式の列、極限、収束)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(連続写像の空間)、13.2(ストーン・ワイエルシュトラスの定理)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   

   問題の仮定より、

   $\underset{r\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{P}_n\left(x\right)=f\left(x\right)$

   となる実係数多項項式の列

   ${\left(P_n\right)}_{n\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}}$

   が存在する。
   よって、任意の正の整数

   $\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}>0$

   に対し、ある正の整数 N が存在して、

   $n_0\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->N\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\left|P_{n_0}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

   この多項式を

   $P\left(x\right)=P_{n_0}\left(x\right)$

   とおく。

   この多項式について、問題の仮定より、

   $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}f\left(x\right)P\left(x\right)\mathrm{dx}\\ =\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}f\left(x\right)\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{c}_i{x}^n\mathrm{dx}\left(c_i\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\right)\\ =\underset{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}=0}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{c}_i\stackrel{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}f\left(x\right)x^n\mathrm{dx}\\ =0\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^1{\left(f\left(x\right)\right)}^2\mathrm{dx}\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{1}f\left(x\right)\left(f\left(x\right)-P\left(x\right)\right)\mathrm{dx}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^1\left|f\left(x\right)\left(f\left(x\right)-P\left(x\right)\right)\right|\mathrm{dx}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left|f\left(x\right)\right|\mathrm{dx}\end{array}$

   ゆえに、

   ${\int \; <!--\; integral\; -->}_0^1{\left(f\left(x\right)\right)}^2=0$

   以上より、

   $f\left(x\right)=0$

   となる。